这是一个具有O（4 ^ n）复杂度的算法吗？

Question

我有一个问题要写一个时间复杂度为O（4 ^ n）的方法。

我推出了这个算法：

public void test(int n){
   for(int i = 0; i<n;i++){
      test(4*i);
   }
}

这被认为是在O（4 ^ n）上运行吗？

Answer 1

不，不是。

调用测试（0）将立即返回。 因此将使用负数调用测试。

使用正数调用测试将永远不会返回（它会溢出，但在计算复杂性时通常不会考虑这一点）。

Answer 2

你的计划非常接近。 正确的功能如下：

public void test(int n) {
  if (n == 0) return;
  for (int i = 0; i < 4; i++) test(n-1);
}

运行这段代码来检查：

static int runs;
static void test(int n) {
  runs++;
  if (n == 0) return;
  for (int i = 0; i < 4; i++) test(n-1);
}
public static void main(String[] args) {
  for (int n = 1; n <= 5; n++) {
    runs = 0;
    test(n);
    System.out.format("%d: %d %d\n", n, 1<<(2*n), runs);
  }
}

它会打印出来

1: 4 5
2: 16 21
3: 64 85
4: 256 341
5: 1024 1365

运行计数是一个，但是满足了大O的复杂性。

一旦你看到它，为什么它是O（4 ⁿ ）的原因可能很明显，但一点点解释不会伤害。 最好的想法是通过分而治之来解决一个复杂的问题。 它将n-大小的问题减少到（ n-1 ）大小问题的四个实例，递归直到子问题很简单（大小为0）。 因此，在1 + 4步骤（入口点调用+4个普通子问题）中解决了大小为1的问题; 2 + 1 * 4 *（1 + 4）= 21步的问题，依此类推。

Answer 3

不它不是。 对于大于1的数字，该程序将无限运行。因此它不是O（4 ^ n）

Answer 4

正如已经说过的那样，对于大于1的给定输入，这将永远运行。要编写一个4 ^ n复杂度程序，请尝试考虑一个操作，其中n比n-1复杂4倍。 例如，对于n = 1，将4个较小正方形中的正方形划分为n = 1，然后再将这些正方形划分为n = 2 ...

你会发现，正方形的数量将是4 ^ n，算法的时间复杂度也是如此。

但是要明白，大o符号代表一个上限，所以任何O（n）的操作也都是O（4 ^ n），但我猜这不是什么意思......