具有最大顶点数的最短路径

Question

我想找到两个顶点之间的最短路径和一个额外的约束：可以访问max n个顶点。 该图是定向的，连接的，非负权重，并且可以包含循环。

例：

1. n = 2的最短路径0-> 2为18
2. n = 3的最短路径0-> 3为22
3. 最短路径0-> 3 ， n = 4是9

到目前为止，我已经实现了Djikstras算法以获得简单的最短路径，我的想法是保持当前访问的顶点的计数器，如果它超过n它需要一个或多个步骤并尝试使用另一个路径..但​​到目前为止因为我知道Djikstras不能用于回溯作为解释在这里 。

另一个想法是以某种方式存储表中每个节点之间的每条路径。 但我不确定Djikstra如何发现重量为18的0-> 2路径，因为它不是真正的最短路径......

有没有人有任何想法如何解决这个问题？

Answer 1

将每个顶点划分为n个顶点，即对于顶点u ，我们创建n个顶点，表示为(u, 1) ... (u, n) ，第二个数字表示到此顶点的步数。 对于从u到v的每个边，我们在（u，i）到（v，i + 1）中创建边，其中在新图中1<=i<=n-1 。 现在，如果你想用u计算u和v之间的最短路径，只需从（u，1）做Dijkstra，那么你的答案就是min(result (v, i) | 1<=i<=n)

顶点总数可以是n * n，因此复杂度约为O(n^2*log(n^2))

Answer 2

令COST_TO（v，n）为具有n个边或更小边的顶点v的最小路径的总权重。

当n = 0时，答案很简单：

对于所有v，如果v是源顶点，则COST_T（v，0）= 0，否则为无穷大

对于n> 0，COST_TO（v，n）是COST_TO（v，n-1）和所有COST_TO（w，n-1）+ WEIGHT（w，v）的最小值，其中存在从w到v的边

因此，对于n = 0到N，跟踪COST_（v，n）<无穷大的所有顶点及其成本，并从n-1的值计算n的成本。

同时，您可以跟踪每个v的最小权重路径 - 每次使用边缘规则将成本更新为v时，v的新路径是w加上该边缘的路径。 反向单链表对此非常方便。

Answer 3

也许尝试bfs并检查最大值的顶点数。 保存满足约束的最好的。

下面是关于它的视频https://youtu.be/TvHV3PB8ANs

Nist.gov也有一些算法。

Answer 4

假设您想要找到从源顶点S到最多K边缘组成的目标顶点T的最短路径。 我选择了K ，因为你问题中的n是误导性的 - 如果你想找到最多访问n个顶点的最短路径，其中n是顶点总数，你可以运行Dijkstra，因为任何简单路径最多都有n顶点 - 我认为这不是你想要的。

然后，如果你想要一个简单的实现， Bellman-Ford在这里是个不错的选择：

在外循环i-th迭代之后，算法计算了从源顶点S到由at most i edges组成的任何其他顶点的最短路径，因此它由at most i + 1 vertices 。 因此，为了解决您的问题，运行Bellman-Ford的K - 1外环，并检查到目标顶点T的距离是否定义良好（不同于无穷大），如果是，则得到结果。 否则，在访问K或更少顶点时无法从S到达T