C＃中的逆FFT

Question

我正在编写程序性音频文件的应用程序，我必须分析我的新文件，获取其频谱并在其计算中更改它。

我想用快速傅立叶变换（FFT）来做到这一点。 这是我的递归C＃FFT：

void ft(float n, ref Complex[] f)
{
    if (n > 1)
    {
        Complex[] g = new Complex[(int) n / 2];
        Complex[] u = new Complex[(int) n / 2];

        for (int i = 0; i < n / 2; i++)
        {
            g[i] = f[i * 2];
            u[i] = f[i * 2 + 1];
        }

        ft(n / 2, ref g);
        ft(n / 2, ref u);

        for (int i = 0; i < n / 2; i++)
        {
            float a = i;
            a = -2.0f * Mathf.PI * a / n;
            float cos = Mathf.Cos(a);
            float sin = Mathf.Sin(a);
            Complex c1 = new Complex(cos, sin);
            c1 = Complex.Multiply(u[i], c1);
            f[i] = Complex.Add(g[i], c1);

            f[i + (int) n / 2] = Complex.Subtract(g[i], c1);
        }
    }
}

鼓舞人心的例子是

然后我将我的结果与来自wolframalpha的结果进行比较，输入相同的输入为0.6,0.7,0.8,0.9但结果并不相同。 我的结果是Wolfram的两倍，虚部是Wolfram的-2倍。

另外，wiki表示可以用FFT计算FFT的逆

但我比较输入和输出，它们是不同的。

有谁知道什么是错的？

Answer 1

不同的实现通常使用离散傅立叶变换（DFT）的不同定义，具有相应不同的结果。 实现之间的对应关系通常相当简单（例如缩放因子）。

更具体地说，您的实现基于以下DFT定义：

另一方面，默认情况下Wolfram alpha使用一个定义 ，在调整为基于0的索引后，它看起来像：

相应地，可以将您的实现结果转换为匹配Wolfram alpha的：

void toWolframAlphaDefinition(ref Complex[] f)
{
  float scaling = (float)(1.0/Math.Sqrt(f.Length));
  for (int i = 0; i < f.Length; i++)
  {
    f[i] = scaling * Complex.Conjugate(f[i]);
  }
}

现在，使用正向变换计算逆DFT，直接实现公式

你提供的将是：

void inverseFt(ref Complex[] f)
{
  for (int i = 0; i < f.Length; i++)
  {
    f[i] = Complex.Conjugate(f[i]);
  }
  ft(f.Length, ref f);
  float scaling = (float)(1.0 / f.Length);
  for (int i = 0; i < f.Length; i++)
  {
    f[i] = scaling * Complex.Conjugate(f[i]);
  }
}

调用ft的原始序列0.6, 0.7, 0.8, 0.9因此应该让你变换序列3, -0.2+0.2j, -0.2, -0.2-0.2j 。

进一步呼吁inverseFt这个变换顺序则应该让你回到你原来的顺序0.6, 0.7, 0.8, 0.9 （一些合理的浮点误差范围内），如在此现场演示 。