C＃MathNet FFT定义

Question

从MathNet测试FFT时，我遇到一些问题：这个想法是，如果将FFT应用于高斯变量的特征函数，我应该找到高斯密度函数。

当我绘制VectorFFT时，该图看起来确实是一个密度函数，但在零值处它没有值1，在值1.4689690914109中。

缩放必须存在一些问题。 我在Fourier中尝试了所有类型的FourierOptions.Inverse和PI，2PI，sqrt（2PI）的所有除法/乘法类型，但没有任何东西让我在密度函数的中心得到值1。

另外，由于存在傅立叶变换及其逆的各种定义，所以我想知道MathNet实现了哪个定义，所以在文档中找不到它。

有任何想法吗？

public void DensityGaussian()
    {
        double eta = 0.1;   //step in discrete integral
        int pow2 = 256;     // N^2
        double mu = 0;      // centred gaussian
        double sigma = 1;   // with unitary variance

        //FFT
        double lambda = 2 * System.Math.PI / (pow2 * eta);
        double b = 0.5 * pow2 * lambda;

        Complex[] VectorToFFT = new Complex[pow2];
        for (int j = 0; j < pow2; j++)
        {
            double z = eta * j;

            if (z == 0) { z = 0.00000000000001; }

            VectorToFFT[j] = System.Numerics.Complex.Exp(new Complex(0, b * z));
            VectorToFFT[j] *= (System.Numerics.Complex.Exp(new Complex(
                              -sigma*sigma*z*z, mu * z))); //char function of gaussian
        }

        Fourier.Inverse(VectorToFFT, FourierOptions.NoScaling);

        //scaling
        for (int i = 0; i < pow2; i++)
        {
            VectorToFFT[i] /= (2 * System.Math.PI); //test
        }


        Console.WriteLine("Is density?");
        Assert.IsTrue(1 == 1);
    }

Answer 1

Math.NET Numerics支持所有常见的DFT定义，可通过FourierOptions标志枚举来控制。 它们实质上在指数和缩放比例上有所不同。

FourierOptions文档从本质上给出了有关选项如何影响有效定义的提示：

• InverseExponent：在指数中使用负号（默认情况下使用正号）。 带有负号的突出实现是数字配方。
• AsymmetricScaling / NoScaling：代替默认的对称缩放sqrt(1/N) ，仅以逆变换1/N缩放（如Matlab），或者根本不进行缩放（如数值配方）。 显然，无需缩放ifft(fft(x)) != x 。

也许在R中使用fft从特征函数计算密度中的答案可以对特定用例有所帮助。