数学方程转换

Question

我正在尝试编写一种确定球体上多边形（复杂或简单）面积的方法。 我有一篇由JPL的几个人写的论文，或多或少地为您提供了这些计算的方程式。

pdf文件可以在这里找到：

http://trs-new.jpl.nasa.gov/dspace/handle/2014/40409

该方程式可以在第7页的“球形情况-近似”下找到：

我也在Word中键入了等式：

Spherical_Case_Equation

在将该方程式转换为标准形式时，我需要帮助（我认为这是正确的术语）。 我已经为刨床做了类似的事情：

private double calcArea(Point2D[] shape) {
    int n = shape.length;
    double sum = 0.0;

    if (n < 3) return 0.0;

    for (int i = 0; i < n-1 ; i++) {
        sum += (shape[i].getX() * shape[i+1].getY()) - (shape[i+1].getX() * shape[i].getY());
    }

    System.out.println(0.5 * Math.abs(sum));
    return 0.5 * Math.abs(sum);
}

我只需要在球形情况下进行类似操作的帮助即可。 任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我尚未阅读您引用的论文。 球形多边形的面积与角度超出成正比。

面积=r²（ΣAᵢ-（n-2）π）

要计算转角，您可以从点的3D坐标开始。 因此，在角i处，您有顶点p[i] = (x[i],y[i],z[i])和相邻的顶点p[i-1]和p[i+1] （resp p[(i+n-1)%n]和p[(i+1)%n]以获得正确的循环性）。 然后交叉产品

v₁ = p[i] × p[i-1]
v₂ = p[i] × p[i+1]

将与入射边缘和原点（即球的中心）所跨越的平面正交。 Noe空间中两个向量之间的夹角为

Aᵢ = arccos(⟨v₁,v₂⟩ / (‖v₁‖ * ‖v₂‖))

其中⟨v₁，v⟩表示两个矢量之间的点积 ，该积与角度的余弦成比例，而“v₁”表示第一个矢量的长度，第二个矢量也类似“ v2”。