在 MATLAB 中细分 3D 表面

Question

我正在使用 MATLAB 创建一些图表来解释我的研究，但遇到了以下问题。 我已经创建了一个绕 x 轴旋转的半椭球，但我想演示椭球内的一些内部结构，它将绕 x 轴和 y 轴旋转。 这大致如下图所示，我将椭球细分为四个部分（用我糟糕的绘画技巧）。

如何使用围绕 x 轴和 y 轴的不同旋转平面将我的椭球细分为多个部分？ 我可以创建椭圆体和相交平面，但从那里我不知道如何划分椭圆体并改变面部颜色。

我在下面包含了一些基本代码来开始工作。 我原以为我可以像将椭圆体切成两半一样掩盖椭圆体坐标的一部分，但这不起作用。 我猜我需要制作某种网格，但我不知道如何将相交表面和椭圆体的网格组合起来。

figure
x   = 0;    y   = 0;    z   = 0;
tl  = 10;   tw  = 4;   td  = 2;

% Create ellipsoid
[ex,ey,ez]  = ellipsoid(x, y, z, tl, tw, td,40);
ex          = ex(1:ceil(length(ez)/2),:);   % Remove top half 
ey          = ey(1:ceil(length(ez)/2),:);   % of ellipsoid
ez          = ez(1:ceil(length(ez)/2),:);

% Make some planes
[ySL,zSL] = meshgrid([-10:10],[-2:0.2:2]);
xSL1 = zeros(size(ySL, 1)); % Generate z data
hSL1 = surf(xSL1,ySL,zSL);

hold on
[ySL,zSL] = meshgrid([-10:10],[-3:0.2:1]);
xSL2 = ones(size(ySL, 1)); % Generate z data
hSL2 = surf(xSL2,ySL,zSL);

% rotate(hSL,[1 0 0],5);
rotate([hSL1 hSL2],[0 1 0],-70);

hSurf1  = surf(ex,ey,ez);
set([hSurf1 hSL1 hSL2],'facecolor','blue','facealpha',.2,...
    'edgecolor','none')

% Plot settings
daspect([1 1 0.3]);
hold off
view(-10,6)

任何帮助是极大的赞赏，

Answer 1

这是一个有趣的问题。 因此，这里有一个解决方案，用于 1) 在椭圆内绘制三个以两个平面为边界的点，以及 2) 将这些点形成一个平滑的补丁表示。

我的基本想法是构建一个覆盖（根据需要尽可能密集）整个感兴趣的 XYZ 空间的网格。 然后我要做的是以参数形式ax+by+cz+d=0定义两个平面。 这些是要在其间绘制数据的平面。 使用平面的法向量，以及每个平面上的一个点的信息，我可以使用点积推断 XYZ 网格中的每个点是在平面上方还是下方：如果点积小于零，则点在平面上方，如果大于零，则在平面上方。

使用 逻辑索引，我然后找到网格上的哪些点满足条件 1) 在平面 1 之上，2) 在平面 2 之下，和 3) 在椭球内和 -- 可选 -- 4) 在Z=0之下。

最后，我绘制了椭圆体和平面，以及满足上述标准的点。

在这种情况下，我定义了两个平面，但我想您可以为任意数量的平面执行此操作。 代码又快又脏，但希望能给你一个前进的方向！

% Define the ellipse
x   = 0;    y   = 0;    z   = 0;
tl  = 10;   tw  = 4;   td  = 2;

% Create ellipsoid
[ex,ey,ez]  = ellipsoid(x, y, z, tl, tw, td,40);
ex          = ex(1:ceil(length(ez)/2),:);   % Remove top half 
ey          = ey(1:ceil(length(ez)/2),:);   % of ellipsoid
ez          = ez(1:ceil(length(ez)/2),:);


% Define a 3D grid over area of interest
xx = linspace(min(ex(:)),max(ex(:)),50);
yy = linspace(min(ey(:)),max(ey(:)),50);
zz = linspace(min(ez(:)),max(ez(:)),50);
[X, Y, Z] = meshgrid(xx, yy, zz);
V = [X(:) Y(:) Z(:)]; % rearrange

% Define two planes (ax + bx + cz + d = 0)
a = [0; 0];
b = [-1; 1];
c = [-1; 1];
d = [-1; -1];
% Normal vectors of the planes
n = [a b c];
n(1,:) = n(1,:) / norm(n(1,:));
n(2,:) = n(2,:) / norm(n(2,:));

% Find a point (0,0,z) on each plane
zp = [zeros(2) (d- a * 0 - b * 0)./c];

% Define the area of interest.
% Dot product to test if grid points are below or above the planes
% We want: above plane 1, below plane 2.
V1 = sum(bsxfun(@times, bsxfun(@minus, V, -zp(1,:)), n(1,:)),2);
V2 = sum(bsxfun(@times, bsxfun(@minus, V, -zp(2,:)), n(2,:)),2);
between_planes = (V1 < 0) & (V2 < 0);
% ...and the points have to be inside the ellipsoid
in_ellipse = ((X(:) - x)/tl).^2 + ((Y(:)-y)/tw).^2 + ((Z(:)-z)/td).^2 < 1;
% Final AOI
aoi = between_planes & in_ellipse;

% Add this if you want to also have only values with Z < 0
aoi = aoi & (V(:,3) < 0);

figure;
surf(ex, ey, ez, 'facecolor','blue','facealpha',.2,...
    'edgecolor','none')

所以，现在我们准备绘制一些数据！ 首先，让我们尝试绘制网格以获得一种显示单个数据点的离散可视化：

hold on;
plot3(V(aoi,1), V(aoi, 2), V(aoi, 3), 'r.')

...只是为了看看它是否有效，让我们将我们之前定义的平面添加到可视化中。 这是您最终可能想要摆脱的东西。

% Draw the planes
[X,Y] = meshgrid(xx,yy);
Z = cell(2,1);
clr = {'r', 'g'};
for k = 1:2
    Z{k} = (a(k) * X + b(k) * Y + d(k))/ (-c(k));
    hs(k) = surf(xx, yy, Z{k},'facecolor',clr{k}, 'facealpha',.2, 'edgecolor','none');
    drawnow;
end
view([-115 10])
legend(hs, 'Plane 1 (above)', 'Plane 2 (below');

好吧，最后，如果我们想显示一些平滑的数据，我们可以使用alphaShape从我们拥有的这些数据点中提取多面体。 我们可以通过使用plot将多面体可视化为patch对象。 最后，我们可以为补丁中的每个顶点分配我们想要的任何颜色，通过设置'Facecolor'属性为可视化颜色设置平滑变化，并通过将'EdgeColor'设置为'none'来删除讨厌的顶点边缘：

% Moving on to smooth representation...
shp = alphaShape(V(aoi,1), V(aoi, 2), V(aoi, 3),1);
hs = plot(shp);
% Create a colormap to use for the patch (color of each vertex)
cmap = jet(size(hs.Vertices,1));
set(hs, 'FaceVertexCData', cmap);
set(hs, 'FaceColor', 'interp'); % smooth interp coloring
set(hs, 'EdgeColor', 'none'); % Remove ugly edges

就是这样了。 剩下的就是用适合您的数据的任何值替换顶点颜色值。 此外，如果您不希望这些数据点沿着补丁显示在显示中，请记住提前跳过plot3部分。

下面的示例最终结果，也显示了两个平面。