在 MATLAB 中細分 3D 表面

Question

我正在使用 MATLAB 創建一些圖表來解釋我的研究，但遇到了以下問題。 我已經創建了一個繞 x 軸旋轉的半橢球，但我想演示橢球內的一些內部結構，它將繞 x 軸和 y 軸旋轉。 這大致如下圖所示，我將橢球細分為四個部分（用我糟糕的繪畫技巧）。

如何使用圍繞 x 軸和 y 軸的不同旋轉平面將我的橢球細分為多個部分？ 我可以創建橢圓體和相交平面，但從那里我不知道如何划分橢圓體並改變面部顏色。

我在下面包含了一些基本代碼來開始工作。 我原以為我可以像將橢圓體切成兩半一樣掩蓋橢圓體坐標的一部分，但這不起作用。 我猜我需要制作某種網格，但我不知道如何將相交表面和橢圓體的網格組合起來。

figure
x   = 0;    y   = 0;    z   = 0;
tl  = 10;   tw  = 4;   td  = 2;

% Create ellipsoid
[ex,ey,ez]  = ellipsoid(x, y, z, tl, tw, td,40);
ex          = ex(1:ceil(length(ez)/2),:);   % Remove top half 
ey          = ey(1:ceil(length(ez)/2),:);   % of ellipsoid
ez          = ez(1:ceil(length(ez)/2),:);

% Make some planes
[ySL,zSL] = meshgrid([-10:10],[-2:0.2:2]);
xSL1 = zeros(size(ySL, 1)); % Generate z data
hSL1 = surf(xSL1,ySL,zSL);

hold on
[ySL,zSL] = meshgrid([-10:10],[-3:0.2:1]);
xSL2 = ones(size(ySL, 1)); % Generate z data
hSL2 = surf(xSL2,ySL,zSL);

% rotate(hSL,[1 0 0],5);
rotate([hSL1 hSL2],[0 1 0],-70);

hSurf1  = surf(ex,ey,ez);
set([hSurf1 hSL1 hSL2],'facecolor','blue','facealpha',.2,...
    'edgecolor','none')

% Plot settings
daspect([1 1 0.3]);
hold off
view(-10,6)

任何幫助是極大的贊賞，

Answer 1

這是一個有趣的問題。 因此，這里有一個解決方案，用於 1) 在橢圓內繪制三個以兩個平面為邊界的點，以及 2) 將這些點形成一個平滑的補丁表示。

我的基本想法是構建一個覆蓋（根據需要盡可能密集）整個感興趣的 XYZ 空間的網格。 然后我要做的是以參數形式ax+by+cz+d=0定義兩個平面。 這些是要在其間繪制數據的平面。 使用平面的法向量，以及每個平面上的一個點的信息，我可以使用點積推斷 XYZ 網格中的每個點是在平面上方還是下方：如果點積小於零，則點在平面上方，如果大於零，則在平面上方。

使用 邏輯索引，我然后找到網格上的哪些點滿足條件 1) 在平面 1 之上，2) 在平面 2 之下，和 3) 在橢球內和 -- 可選 -- 4) 在Z=0之下。

最后，我繪制了橢圓體和平面，以及滿足上述標准的點。

在這種情況下，我定義了兩個平面，但我想您可以為任意數量的平面執行此操作。 代碼又快又臟，但希望能給你一個前進的方向！

% Define the ellipse
x   = 0;    y   = 0;    z   = 0;
tl  = 10;   tw  = 4;   td  = 2;

% Create ellipsoid
[ex,ey,ez]  = ellipsoid(x, y, z, tl, tw, td,40);
ex          = ex(1:ceil(length(ez)/2),:);   % Remove top half 
ey          = ey(1:ceil(length(ez)/2),:);   % of ellipsoid
ez          = ez(1:ceil(length(ez)/2),:);


% Define a 3D grid over area of interest
xx = linspace(min(ex(:)),max(ex(:)),50);
yy = linspace(min(ey(:)),max(ey(:)),50);
zz = linspace(min(ez(:)),max(ez(:)),50);
[X, Y, Z] = meshgrid(xx, yy, zz);
V = [X(:) Y(:) Z(:)]; % rearrange

% Define two planes (ax + bx + cz + d = 0)
a = [0; 0];
b = [-1; 1];
c = [-1; 1];
d = [-1; -1];
% Normal vectors of the planes
n = [a b c];
n(1,:) = n(1,:) / norm(n(1,:));
n(2,:) = n(2,:) / norm(n(2,:));

% Find a point (0,0,z) on each plane
zp = [zeros(2) (d- a * 0 - b * 0)./c];

% Define the area of interest.
% Dot product to test if grid points are below or above the planes
% We want: above plane 1, below plane 2.
V1 = sum(bsxfun(@times, bsxfun(@minus, V, -zp(1,:)), n(1,:)),2);
V2 = sum(bsxfun(@times, bsxfun(@minus, V, -zp(2,:)), n(2,:)),2);
between_planes = (V1 < 0) & (V2 < 0);
% ...and the points have to be inside the ellipsoid
in_ellipse = ((X(:) - x)/tl).^2 + ((Y(:)-y)/tw).^2 + ((Z(:)-z)/td).^2 < 1;
% Final AOI
aoi = between_planes & in_ellipse;

% Add this if you want to also have only values with Z < 0
aoi = aoi & (V(:,3) < 0);

figure;
surf(ex, ey, ez, 'facecolor','blue','facealpha',.2,...
    'edgecolor','none')

所以，現在我們准備繪制一些數據！ 首先，讓我們嘗試繪制網格以獲得一種顯示單個數據點的離散可視化：

hold on;
plot3(V(aoi,1), V(aoi, 2), V(aoi, 3), 'r.')

...只是為了看看它是否有效，讓我們將我們之前定義的平面添加到可視化中。 這是您最終可能想要擺脫的東西。

% Draw the planes
[X,Y] = meshgrid(xx,yy);
Z = cell(2,1);
clr = {'r', 'g'};
for k = 1:2
    Z{k} = (a(k) * X + b(k) * Y + d(k))/ (-c(k));
    hs(k) = surf(xx, yy, Z{k},'facecolor',clr{k}, 'facealpha',.2, 'edgecolor','none');
    drawnow;
end
view([-115 10])
legend(hs, 'Plane 1 (above)', 'Plane 2 (below');

好吧，最后，如果我們想顯示一些平滑的數據，我們可以使用alphaShape從我們擁有的這些數據點中提取多面體。 我們可以通過使用plot將多面體可視化為patch對象。 最后，我們可以為補丁中的每個頂點分配我們想要的任何顏色，通過設置'Facecolor'屬性為可視化顏色設置平滑變化，並通過將'EdgeColor'設置為'none'來刪除討厭的頂點邊緣：

% Moving on to smooth representation...
shp = alphaShape(V(aoi,1), V(aoi, 2), V(aoi, 3),1);
hs = plot(shp);
% Create a colormap to use for the patch (color of each vertex)
cmap = jet(size(hs.Vertices,1));
set(hs, 'FaceVertexCData', cmap);
set(hs, 'FaceColor', 'interp'); % smooth interp coloring
set(hs, 'EdgeColor', 'none'); % Remove ugly edges

就是這樣了。 剩下的就是用適合您的數據的任何值替換頂點顏色值。 此外，如果您不希望這些數據點沿着補丁顯示在顯示中，請記住提前跳過plot3部分。

下面的示例最終結果，也顯示了兩個平面。