如何在Coq中证明证明定义

Question

我目前正在与Coq合作，遇到一个我不知道如何解决的问题。

假设我们正在处理给定类型，我以nat为例，我想使用可能失败的函数f 。 为了弥补故障，我们将f定义为nat -> option nat 。

现在我有一个给定的假设H: nat -> bool在这种情况下f不会失败，我什至证明了引理

Lemma no_error_in_f : forall (n:nat), H n = true -> exists (u:nat), f n = Some u.

我想定义一个函数g: nat->nat赋予的结果f上n如果H n得到满足，而只是给n否则。 这个函数应该定义得很好，但是我不知道如何正确定义它。 如果我尝试类似Definition g (n:nat) := if H n then fn else n.天真方法Definition g (n:nat) := if H n then fn else n. ，则打字系统存在问题。

有谁知道如何收集所有元素并告诉系统定义是合法的？

Answer 1

我在这里给出一个解决方案，该解决方案与问题中给出的假设相同。

Axiom f : nat -> option nat.
Axiom H : nat -> bool.
Axiom no_error_in_f : forall n,
  H n = true -> exists u, f n = Some u.

Lemma no_error_in_f_bis : forall n,
  H n = true -> f n <> None.
Proof.
  intros. apply no_error_in_f in H0. destruct H0. rewrite H0. discriminate.
Qed.

Definition g n :=
  match H n as b return H n = b -> _ with
  | true => fun H =>
    match f n as f0 return f n = f0 -> _ with
    | Some n0 => fun _ => n0
    | None => fun H0 => match no_error_in_f_bis n H H0 with end
    end eq_refl
  | false => fun _ => n
  end eq_refl.

除了no_error_in_f ，我还使用了另一个引理，这更容易证明False 。 请注意，此处说明了此函数的两个想法（使用match的return构造，破坏False的证明以表明分支不可到达）： http : //adam.chlipala.net/cpdt/html/Subset。 html 。

Answer 2

您的开发中存在两个问题。 一个是您不能在不假设其他公理的情况下使用no_error_in_f在Coq中定义g ，因为Coq不允许从证明中提取计算信息（请在此处查看更多详细信息）。 另一个问题是您不能在if表达式中使用H ，因为它返回的是Prop而不是bool （有关更多详细信息，请查看此答案 ）。

Answer 3

我找到了一种方法，如果有人感兴趣，这是我的解决方案：

Definition g (n:nat) :nat := (match (H n) as a return a = H n -> nat with | true => (fun H_true => (match (fn) as b return b = fn -> nat with | Some u => (fun _ => u) | None => (fun H1 => False_rec _ (no_error_in_f H_true H1)) end) (eq_refl fn)) | false => n end) (eq_refl H n).

对于那些想知道这意味着什么的人，False_rec将False的证明作为第二个参数，并证明不可能进行匹配。 期限

(match (fn) as b return b = fn -> nat with | Some u => (fun _ => u) | None => (fun H1 => False_rec _ (no_error_in_f H_true H1)) end) (eq_refl fn))类型为fn = f n-> nat ，当我将其应用于证明eq_refl (fn) （这是fn = fn的证明，因此键入fn = fn ）时，我得到了nat 。 这个技巧使我能够获得H1 ，这是使用相等的自反性和模式匹配来获得fn = None的证明，并且可以继续使用False证明。

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