在 C++ 中计算巨大的斐波那契数模 M

Question

问题陈述：给定两个整数n和m，输出Fn mod m（即Fn除以m的余数）。

输入格式。 输入由在同一行给出的两个整数 n 和 m 组成（用空格分隔）。 约束。 1 ≤ n ≤ 10^18, 2 ≤ m ≤ 10^5

输出格式。 输出 Fn mod m。

我尝试了以下程序，但没有奏效。 根据http://webspace.ship.edu/msrenault/fibonacci/fiblist.htm 的任何数字，方法 pi 正在返回正确的 Pisano 周期

#include <iostream>

long long pi(long long m) {
    long long result = 2;
    for (long long fn2 = 1, fn1 = 2 % m, fn = 3 % m;
    fn1 != 1 || fn != 1;
        fn2 = fn1, fn1 = fn, fn = (fn1 + fn2) % m
        ) {
        result++;
    }
    return result;
}

long long get_fibonaccihuge(long long n, long long m) {
    long long periodlength = pi(m);
    int patternRemainder = n % periodlength;    

    long long *sum = new long long[patternRemainder];

    sum[0] = 0;
    sum[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= patternRemainder; ++i)
    {
        sum[i] = sum[i - 1] + sum[i - 2];
    }   
    return sum[patternRemainder] % m;
}

int main() {
    long long n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::cout << get_fibonaccihuge(n, m) << '\n';
}

正如预期的那样，确切的程序/逻辑在 python 中运行良好。 这个 cpp 程序有什么问题？ 是数据类型吗？

Answer 1

执行 10^18 次添加不会很实用。 即使在 teraflop 计算机上，10^6 秒仍然是 277 小时。

但是 10^18 ~= 2^59.8 所以最多有 60 个减半步骤。

计算(a,b) --> (a^2 + b^2, 2ab + b^2)从(n-1,n) th 到(2n-1,2n) th 个连续的斐波那契数对步骤。

在每一步执行每个操作的模数计算。 您需要容纳最大 3*10 ¹⁰ ≤ 2 ^{35 的}整数（即最多 35 位）。

（参见我的一个相关的旧答案）。

Answer 2

这是我对这个问题的解决方案，它运行良好，并在提交测试中成功......

我使用了一种更简单的方法来获得 pisoano 时期（pisano 时期是这个问题的主要棘手部分）......我希望能有所帮助

#include <iostream>
using namespace std;

unsigned long long get_fibonacci_huge_naive(unsigned long long n, unsigned long long m)
{
    if (n <= 1)
        return n;

    unsigned long long previous = 0;
    unsigned long long current = 1;

    for (unsigned long long i = 0; i < n - 1; ++i)
    {
        unsigned long long tmp_previous = previous;
        previous = current;
        current = tmp_previous + current;
    }

    return current % m;
}

long long get_pisano_period(long long m)
{
    long long a = 0, b = 1, c = a + b;
    for (int i = 0; i < m * m; i++)
    {
        c = (a + b) % m;
        a = b;
        b = c;
        if (a == 0 && b == 1)
        {
            return i + 1;
        }
    }
}
unsigned long long get_fibonacci_huge_faster(unsigned long long n, unsigned long long m)
{
    n = n % get_pisano_period(m);
    unsigned long long F[n + 1] = {};
    F[0] = 0;
    F[-1] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
        F[i] = F[i] % m;
    }
    return F[n];
}

int main()
{
    unsigned long long n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::cout << get_fibonacci_huge_faster(n, m) << '\n';
}