C ++：如何计算升到大数的模数？

Question

我正在解决一个编程问题，我必须以答案mod 10 ^ 9 + 7的格式打印答案，其中“答案”是问题的实际答案。

我已经找到解决问题的算法，但是需要注意的是，问题的答案始终是格式m * 10 ^ n，其中

1 <= m <= 8和2 <= n <= 10 ^ 18，也就是说，答案10可以提高到10 ^ 18的幂。当然，直接计算10 ^ n可能会溢出。

接下来我该怎么办？

Answer 1

评估10^n mod M ：

您需要的是模幂 。 它可以计算log_2(b) (a^b)%m （对数为2）。

例

假设您需要计算10^9 。

1. 一种方法是你依次多个10 ， 9倍。

2. 或者，使用分而治之的方法。

   10^9 = (10^8)*(10^1)

   10^8 = (10^4)*(10^4) ：是否需要两次计算10^4 ？

   10^4 = (10^2)*(10^2) ：是否需要两次计算10^2 ？

   10^2 = (10^1)*(10^1)

   10^1 = (10^1)*(10^0)

   10^0是基本情况。

   因此，我们基本上要做的是：

   1. 如果power是一个奇数，则我们计算base^(power-1)并将其乘以base得到base^power 。 [ base^power = (base^(power-1)) * base) ]
   2. 如果power是偶数，则我们计算base^(power/2)并将其与自身相乘以获得base^power 。 [ base^power = (base^(power/2)) * (base^(power/2)) ]。 但是我们只计算一次base^(power/2) 。

计算复杂度 ：

如前所述这里 ：

简要分析表明，这种算法使用floor(log_2(n))平方，最多使用floor(log_2(n))乘法。 更准确地说，乘法的数量比n的二进制展开式中存在的乘法数量少1。

因此，可以说运行时log_2(n) 。 （ O(log_2(power)) ）

评估模数部分：

很容易注意到，当计算一个最大为10^(10^18) ，我们必然会溢出甚至最大的原始类型（ long long int ）。 然后进入模乘 ，根据(a * b) % c = ((a % c) * (b % c)) % c 。 附带说明，当您直接查看代码时，您可能看不到该规则在使用中，但是如果您评估递归调用，则会使用该规则。

问题解决了？

我们通过计算运行中的模数来防止溢出。 假设，如果我们得到一些值为10^9值，则需要将其与自身相乘。 溢出？ 不，这次不行。

ans = ((10^9 % 1000000007) * (10^9 % 1000000007)) % 1000000007
ans = 10^18 % 1000000007
ans = 49

码：

虽然有多种实现，但这是一个简单的实现：

const int M = 1e9 + 7;
long long int powxy(long long int x, long long int y) {
    if (y == 0) return 1;
    if (y%2 == 1) return (x*powxy(x, y-1))%M;
    long long int t = powxy(x, y/2);
    return (t*t)%M;
}

在这里测试。