上电后取模的算法

Question

在一段代码下面，计算a ^ b％c的值，

int powermod(int a,int b,int c)
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%c;

        a=(a*a)%c;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

我试图了解代码背后的算法，但无法实现。 有人可以帮我解释一下吗？ 它是如何工作的，其背后的算法是否有名称？

Answer 1

没有“ modulo c”部分，更容易看到发生了什么：

int power(int a,int b)
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans *= a;
        a=a*a;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

这是一种通过从最低有效位开始一次考虑b来计算^b的标准算法。 对于b每一位，如果为1 ，则将答案乘以a的当前值。 然后，移动到下位，将其平方a和移位b 1位到右侧。 该算法的理论是x ^{2 m + 2 n} = x ^{2 m} x ^{2 n} 。

这种类型的算法称为“平方求幂” ，“平方乘”或“二进制求幂”。

发布的算法（在注释中指出的校正之后）使用c (x*y)%z == ((x%z) * (y%z)) % z （即，模运算可以在运算之前或乘法之前进行。 它使用是为了保持a低于c尽管一再平方。

Answer 2

它使用二元思维。

当b1 + ... + bn = b时a ^b = a ^b1 a ^b2 ... a ^bn

用二进制写b，您将得到^b0 a ^{2 * b1} a ^{4 * b2} ... a ^{2 n bn} ，bi表示二进制b中的第i位。 只能是0或1。

现在我们发现我们不需要每次都计算^{2 n} ，因为我们可以从^{2 n-1得到}

由于（a b）％c =（a％c） （b％c）％c，因此该算法在乘法时执行mod操作。