为什么我们不需要在Fast Power算法中对每个操作数执行模运算？

Question

今天，我练习了一个难题“快速力量”，其中使用了一个公式： (a * b) % p = (a % p * b % p) % p来计算(a^n)%p ，类似这样： 2^31 % 3 = 2

但是，当我找到所使用的答案时，我感到非常困惑((temp * temp) % b * a) % b; 解决n为奇数时的情况，例如2^3

（temp是(temp * temp) % b * a递归或(temp * temp) % b ）。

它应该不是((temp * temp) % b * a%b) % b吗？

由于根据此公式，所有内容都应先%b次在一起。

Answer 1

应该不是((temp * temp) % b * a % b) % b吗？

否。对于a ，如果您事先知道a不会溢出（a小于b），则无需进行修改。

这个想法是用于加法和乘法的模块化算术工作。 通常执行(a + b) % M = (a % M + b % M) % M和(a * b) % M = (a % M * b % M) % M这样的操作以避免(a * b)和(a + b)并将值保持在一定范围内。

例：

const int Mod = 7;
int a = 13;
int b = 12;
int b = b % Mod; // b now contains 5 which is certainly smaller than Mod

int x = (a % Mod * b) % Mod; // you won't need to mod b again if you know beforehand b is smaller than Mod

更新资料

C ++幂函数的实现：

#define MOD 1000000007
// assuming x and n both be positive and initially smaller than Mod
int power(int x, int n) {
    if(n == 0) return x;
    int half = power(x, n / 2) % Mod;
    int ret = (half * half) % Mod; // you didn't need to do (half % Mod * half % Mod) % Mod because you already know half is smaller than Mod and won't overflow. 
                                   // Modulas being performed on the multiplied output, so now ret will be smaller than Mod
    if(n & 1) {
        ret = (ret * x) % Mod; // you didn't need to do (ret % Mod * x % Mod) % Mod
                               // because you already know ret and x is smaller than Mod
    }
    return ret;
}

Mod是一项昂贵的操作。 因此，您应尽可能避免使用它。