可以使用SKI组合器表示XOR吗？

Question

我对SKI组合器有疑问。

只能使用S和K组合器来表示XOR（异或）吗？

我有

True = Cancel
False = (Swap Cancel)

哪里

Cancel x y = K x y = x   
Swap: ff x y = S ff x y = ff y x

Answer 1

布尔

您的问题在细节上还不清楚，但是您的意思似乎是您具有以下布尔值表示形式：

T := K
F := S K

之所以有效，是因为它意味着以下减少适用：

T t e => t
F t e => e

换句话说， bte可以解释为IF b THEN t ELSE e 。

根据IF _ THEN _ ELSE _ XOR

因此，有了这个框架，我们如何实现XOR？ 我们可以将XOR表示为IF表达式：

xor x y := IF x THEN (not y) ELSE y = (IF x THEN not ELSE id) y

可以减少到

XOR x := IF x THEN not ELSE id = x not id

一些功能组合器

我们将id = SKK作为标准，而not表示为flip ，因为flip bte = bet = IF b THEN e ELSE t = IF (not b) THEN t ELSE e 。 flip它本身是相当参与但可行的

flip := S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)

现在，我们只需要找出一种编写函数的方法，该函数接受x并将其应用于NOT和ID这两个术语。 要到达那里，首先要注意的是

app := id

然后

app f x = (id f) x = f x

所以，

(flip app) x f = f x

我们快到了，因为到目前为止的所有事情都表明

((flip app) id) ((flip app) not x) = ((flip app) not x) id = (x not) id = x not id

最后一步是使最后一行在x无点。 我们可以使用函数组合运算符来做到这一点：

((flip app) id) ((flip app) not x) = compose ((flip app) id) ((flip app) not) x

compose的要求是

compose f g x = f (g x)

我们可以通过设置来获得

compose f g := S (K f) g

放在一起

总而言之，我们得到了

xor := compose ((flip app) id) ((flip app) not)

或完全扩展：

xor = S (K ((flip app) id)) ((flip app) not)
    = S (K ((flip app) (SKK))) ((flip app) flip)
    = S (K ((flip SKK) (SKK))) ((flip SKK) flip)
    = S (K (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (SKK))) (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)))