可以使用SKI組合器表示XOR嗎？

Question

我對SKI組合器有疑問。

只能使用S和K組合器來表示XOR（異或）嗎？

我有

True = Cancel
False = (Swap Cancel)

哪里

Cancel x y = K x y = x   
Swap: ff x y = S ff x y = ff y x

Answer 1

布爾

您的問題在細節上還不清楚，但是您的意思似乎是您具有以下布爾值表示形式：

T := K
F := S K

之所以有效，是因為它意味着以下減少適用：

T t e => t
F t e => e

換句話說， bte可以解釋為IF b THEN t ELSE e 。

根據IF _ THEN _ ELSE _ XOR

因此，有了這個框架，我們如何實現XOR？ 我們可以將XOR表示為IF表達式：

xor x y := IF x THEN (not y) ELSE y = (IF x THEN not ELSE id) y

可以減少到

XOR x := IF x THEN not ELSE id = x not id

一些功能組合器

我們將id = SKK作為標准，而not表示為flip ，因為flip bte = bet = IF b THEN e ELSE t = IF (not b) THEN t ELSE e 。 flip它本身是相當參與但可行的

flip := S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)

現在，我們只需要找出一種編寫函數的方法，該函數接受x並將其應用於NOT和ID這兩個術語。 要到達那里，首先要注意的是

app := id

然后

app f x = (id f) x = f x

所以，

(flip app) x f = f x

我們快到了，因為到目前為止的所有事情都表明

((flip app) id) ((flip app) not x) = ((flip app) not x) id = (x not) id = x not id

最后一步是使最后一行在x無點。 我們可以使用函數組合運算符來做到這一點：

((flip app) id) ((flip app) not x) = compose ((flip app) id) ((flip app) not) x

compose的要求是

compose f g x = f (g x)

我們可以通過設置來獲得

compose f g := S (K f) g

放在一起

總而言之，我們得到了

xor := compose ((flip app) id) ((flip app) not)

或完全擴展：

xor = S (K ((flip app) id)) ((flip app) not)
    = S (K ((flip app) (SKK))) ((flip app) flip)
    = S (K ((flip SKK) (SKK))) ((flip SKK) flip)
    = S (K (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (SKK))) (((S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)) SKK) (S (S (K (S (KS) K)) S) (KK)))