表示[0，255]范围内的值所需的最小小数位数

Question

假设我有一个浮点数，其间隔为[0.0, 1.0] ，表示为字符串。 我们将这个值floatstr 。 我们还假定该值表示间隔[0, 255]的整数。

将floatstr转换为整数的公式是（在python中）： int(round(float(floatstr)*255))

floatstr精确表示该值所需的最小小数位数是多少？ 如果有公式，则如何计算此最小值？

Answer 1

两位数字显然不会减少它。 您只能代表100个不同的值。 三位数怎么样？

假设我们有一个数字x/255 ，我们将其显示为小数点后3位，有效地将其舍入为某个数字y/1000 。 如果x/255是1/255与y/1000的最接近倍数，则将y/1000与255相乘并四舍五入将产生x 。

如果x/255 = y/1000 ，则显然是1/255的最接近倍数。 否则， x/255必须的距离内1/2000的y/1000到轮到y/1000 ，所以最接近的多个1/255上的另一侧y/1000必须至少一个距离1/255 - 1/2000远于x/255 。 因此， x/255是1/255到y/1000的最接近倍数，并且3位数字就足够了。 类似地，对于具有n位数字的任何分母d ， n个小数位就足够了（如果d是10的幂，则n-1个小数位就可以了）。

（在此推导中，我忽略了隐式浮点舍入误差的影响。对于小分母，浮点舍入误差不应更改此分析。）