为什么非线性实数算术是可判定的，而非线性整数算术不是？

Question

我知道非线性整数算术基本上是希尔伯特的第十个问题，并且被证明是不可判定的。 然而，Z3求解器能够为非线性实数算法提供完整的解决方案。 我只是好奇这两个问题之间的根本区别是什么，以便有一个非线性实数算法的确定算法？

似乎有一篇关于Z3实现非线性多项式实数算法的论文。 我没有强大的正式方法/数学背景。 感谢这个问题背后的任何直觉！

Answer 1

考虑到你知道非线性实数算术是可判定的而非线性整数算术不是，你可以期望的最好的直觉和一些例子可以帮助你理解QF_NRA与QF_NIA的不同之处。

我在这个答案中给出了一些例子。 我再给一个：考虑方程y = x ² 。 如果x和y是实数，那么y是正或负x的平方根（假设x是非负的）。 但是，如果你说x和y必须是整数，那么y = x ²可能有也可能没有解，这取决于x的值。

基本的事实是，如果你的变量是实数，有很多数学问题很容易解决，但如果你的变量必须是整数，那么很难解决，在可能的情况下，他们甚至可能没有解决方案。