曼球如何渲染？

Question

我从未理解过如何从数学数据中生成类似曼荼罗的东西。 对我而言，唯一有意义的方法是使用体素，这显然不在此处链接的图像中使用。 因此，如果有人可以向我解释这一点，请这样做。

Answer 1

我不知道确切的数学公式，但我确实知道如何将2D分形转换为3D分形。 但是首先让我们看看如何进行2D分形：

计算一般的（2D）分形时，请选择一些像素坐标，然后使用[x,y] = somefunc(x,y)类的函数对其进行变换[x,y] = somefunc(x,y)然后检查结果是否满足某些条件。 如果不是，您会再次重申...

您的数字可能永远不会满足此条件，因此您要添加一些全局计数器，比方说每个像素100次迭代-如果在100次迭代后不满足该条件，则您将认为它永远不会停止。

如果从不满足条件，则假定当前像素在分形之外，如果满足条件，则存储执行此操作所需的迭代计数。

对于将迭代次数映射到颜色的每个像素都进行了计算，最常见的是，我看到outside涂成黑色，并且迭代次数映射到某些自定义颜色。 您可以使用渐变，带，灰度或任何您想要的颜色。 您也可以循环使用这些颜色来伪造动画。

这里要注意的一件事是，当您开始计算某个像素然后经过一些迭代后，您将最终得到该像素的结果-在3D情况下，这将有所不同。

3D

在3D情况下，大多数计算是相同的，只是更多。

您从一个像素开始，但是现在您计算了从眼睛到该像素的3D射线，并选择了一个靠近您的起点（例如接近剪切平面）。 您可以对此3D点进行迭代，但是如果不满足条件，则可以将点向前推进一小步，然后为该新点重新计算所有内容。 这意味着仅计算一些迭代来获得当前像素的结果是不够的-您可能需要对射线的每个测试点执行很多次，这会使计算速度变慢。

基本上，当您找到满足条件的第一个点并对该点进行迭代计数时，可以使用与2D情况相同的方式对其进行着色，但是3D空间为您提供了更多选择。 您可以跟踪此点和光源之间的线以检查其是否被遮挡，或尝试计算照明的normals （分形中没有典型的normals ，但您可以尝试伪造它）。

在这里，您可以发挥最大的创造力-尽管当前的计算机速度太慢，无法快速完成所有这些数学运算，但您可能会发现许多技巧。 例如，在您发布的图像中，我相信他们还跟踪了每个最终点的接近程度以获得ambient occlusion 。

根据我的somefunc和condition您可以查看有关Mandelbrot和Julia集的Wiki页面。 他们似乎很简单，但是我不是一个人做，所以不会假装我是描述它的好人。

Answer 2

Mandelbulb的公式与Mandelbrot集的公式相似，但具有额外的维度。 首先，我将描述如何使用实数而不是对复数进行迭代来制作Mandelbrot集。

与其计算r = 2圈内的所有点c的零轨道z_new = z_old^2 + c我们z_new = z_old^2 + c使用e^(I theta)=cos(theta)+I sin(theta)

那么我们的公式是

X_new= r^2 cos(2 theta)

Y_new= r^2 sin(2 theta)

其中X_old=r cos(theta) ， y_old =r sin(theta)

为了将其三维化，我们将所有内容都写成球坐标

x_old= r sin(phi) cos(theta)
y_old= r sin(phi) sin(theta)
z_old= r cos(phi)

现在我们可以迭代

x_new=r^2 sin(phi) cos(2 theta)
y_new=r^2 sin(phi) cos(2 theta)
z_new=r^2 cos(2 phi)

之所以可行，是因为Mandelbrot方程中的平方函数被半径平方和旋转两倍角度所替代，并通过在z方向上添加相同的变换来将其占据一维。 上图是8号曼德尔布尔的幂，因此我们用8号幂代替平方。