在Haskell中记忆的最有效方法是什么？

Question

在Haskell中记忆递归函数的最快方法是什么？

背景：最近我一直在Haskell中解决Project Euler问题。 许多需要许多递归定义的组合或数理论函数的计算，例如斐波那契数。 如果这些函数被记忆，性能会大大提高，也就是说，函数的结果会被缓存以供以后使用。

我已经看到很多解决这个问题的方法。 最优雅的似乎就是这个。 一个使用Data.IntMap（或哈希表）和State monad。 在这个答案中提出了一个基于树的解决方案，这种解决方案似乎很常见。 再举一个例子，请参阅此博客文章 。 我见过其他使用内置函数的解决方案。 还有一个在第2节在这里与fix ，并进一步似乎编译器有时可以按摩到memoizing无需额外的工作。 还有一些预建解决方案 。

我想知道哪种memoization方法在Project Euler中使用的各种函数的实践中最快。 我的直觉说哈希表库是，因为哈希表似乎是命令式语言中首选的字典结构。 纯粹的功能树解决方案很酷，但我的谷歌搜索告诉我，它们在渐近性能方面严格比哈希表差。

编辑

一些评论说这个问题太宽泛而无法回答，经过反思我同意。 因此，让我给出两个具体的memoize函数示例：一个递归计算第n个Fibonacci数的函数，以及一个递归计算加泰罗尼亚数的函数。 我想为大n计算这些函数很多次。

我知道这些有明确的公式，但让我们忽略它，因为这里的真正要点是使用它们来记录备忘录技术。

Answer 1

当试图找到第n个斐波那契数时，你需要记住的唯一数字是前两个数字。 你可以像（f n-1，fn）这样的元组，并在每个循环上更新这个元组。 请注意，更新元组是通过指针操作完成的，并且计算成本不高。

一个更清洁，更智能的替代方案是：

fibs :: [Integer]
fibs = fibcreator 0 1
  where
    fibcreator a b = a : fibcreator b (a+b)

nth = take n fibs

但我见过的最好的算法之一是：

1. 我们定义一个矩阵m = [e11 = 1，e12 = 1，e21 = 1，e22 = 0]
2. 得到第n个斐波那契数，我们计算m'= m ^（n-1）
3. 矩阵m'中的e11元素是第n个斐波纳契数

现在最棒的是，为了获得17个斐波纳契数，我们可以做到

m' = ((((m^2)^2)^2)^2) * m

这显着减少了计算时间并被动地将记忆嵌入算法中。 重点是Haskell已经使用这种算法来计算幂函数，因此您不需要实现它。 完整的实施是：

data Matrix = Matrix Integer Integer Integer Integer

instance Num Matrix where
  (*) (Matrix a11 a12 a21 a22) (Matrix b11 b12 b21 b22)
   = Matrix (a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22) (a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

fib4 :: Integer -> Integer
fib4 0 = 0
fib4 n = x
  where
    (Matrix x _ _ _) = Matrix 1 1 1 0 ^ (n-1)