查找一组二次方程的解

Question

我有一组二次方程式，例如

x² + x + y = 7
x + 3y = -3
y² + x² + z = 11

所有系数都是整数。 一组方程可能没有解，也可能是整个解的一个解。

有人知道找出这些方程式是否有解的方法吗？

我的第一个想法是一对一地求解这些方程，然后使用结果来求解其他方程。 问题是舍入误差：如果理论上我有两个方程

x + y = 5
x = 5 - y

会有很多解决方案。 但是如果我的方法导致

x + y = 4.999999
x = 5 - y

系统突然没有解决方案。 在下一步中，我可以添加epsilons来补偿舍入误差，但是我不确定它们应该有多大。 有什么想法或更好的方法吗？

PS：背景是找到平面上一组复杂的圆和线的交点。

Answer 1

由于您具有精确的整数输入，因此可以使用精确的算法。 例如，您可以计算与方程式相对应的多项式的Groebner基 ，例如

x² + x + y - 7
x + 3y + 3
y² + x² + z - 11

使用术语的字典顺序，您将以一种“三角”形式获得Groebner基础，其中第一个多项式包含尽可能少的变量，例如

81z² - 176z + 92
2y + 9z - 8
2x - 27z + 30

一旦z固定，将为您提供z的两个实根以及y和x的唯一值。 如果计算基的第一个多项式不包含变量，则您的方程组将没有任何解。 如果计算基数中的第一个多项式包含两个变量，则您有无限多个解（可能很复杂）。

您可以使用Wolfram Alpha在线试验Groebner基地（例如， 计算示例的基础 ）。 可以使用Buchberger算法来计算Groebner基础，该算法在Java中可用。

注意：Buchberger算法的最坏情况下的复杂度是最大输入总次数的两倍指数，但是在您的应用程序中这可能无关紧要。