C中数据结构的幂运算和算法分析

Question

在第2章谈到幂运算时，作者提到

“显然，所需的乘法数最多为2 log n（底数为2），因为最多需要两次乘法（如果n为奇数）就可以使问题减半。同样，可以编写并求解递推公式。”

代码如下：

int pow( int x, unsigned int n)
{
/*1*/ if( n == 0 )
/*2*/ return 1;
/*1*/ if( n == 1 )
/*4*/ return x;
/*5*/ if( even( n ) )
/*6*/ return( pow( x*x, n/2 ) );
else
/*7*/ return( pow( x*x, n/2 ) * x );
}

问 ：正如作者所说，

2 ^ 16最多需要8个乘法

2 ^ 15 ... 7 ...

2 ^ 14 ... 7 ...

2 ^ 13 ... 7 ...

2 ^ 12 ... 7 ...

实际上，我执行以下代码：

2 ^ 16 .... 4 ...

2 ^ 15 .... 6 ...

2 ^ 14 ... 5 ...

2 ^ 13 ... 5 ...

2 ^ 12 ... 4 ...

那么，哪里出问题了？

Answer 1

找到x ^ n 最多需要 2个log n乘法，因为n / 2在每次迭代中都可能是奇数。 例如：

pow(2, 15) --> pow(2 * 2, 7) * 2
           --> pow(4 * 4, 3) * 4 * 2
           --> pow(16 * 16, 1) * 16 * 4 * 2

这是六个乘法（每个函数调用两个乘法）。 2 * log（15）〜= 7.8 。 因此满足了上限。 最好的情况是n的2的幂，仅需对数n乘法。

为了计算复杂度，请考虑该算法将n减少一半k倍，直到n在1和2之间； 也就是说，我们有：

^1≤N / _{2 ^k} <2

所以：

2 ^{k≤Ñ<2 K + 1}
⇒k≤log n <k + 1
⇒（log n）-1 <k≤log n

因此，该算法采取log n步，并且由于最坏的情况是每步两次乘法，因此最多需要2 log n乘法。

Answer 2

没有矛盾或错误-这本书给出了一个上限，您正在查看乘法的确切数量。

精确的乘法次数（对于n> 0）是floor（log_2（n））+ bitcount（n）-1。这只是通过检查代码-偶数情况（执行一次乘法）对应于0中的0位。输入时，奇数情况（执行额外的乘法运算）对应于输入中的1位，并且代码到达最高位时停止。

这本书说2 * log_2（n）是乘法次数的上限。 这与确切的公式一致：floor（log_2（n））<= log_2（n）和bitcount（n）-1 <= log_2（n）。 所以floor（log_2（n））+ bitcount（n）-1 <= 2 * log_2（n）。

从精确的公式中，您可以看到n的位数越低，上限越差。 最坏的情况是n为2的幂，那么将精确执行log_2（n）乘法，并且上限以2为因数。最好的情况是n小于2的幂。 2：则上限仅偏离1。这与您的经验结果表相符。