C中數據結構的冪運算和算法分析

Question

在第2章談到冪運算時，作者提到

“顯然，所需的乘法數最多為2 log n（底數為2），因為最多需要兩次乘法（如果n為奇數）就可以使問題減半。同樣，可以編寫並求解遞推公式。”

代碼如下：

int pow( int x, unsigned int n)
{
/*1*/ if( n == 0 )
/*2*/ return 1;
/*1*/ if( n == 1 )
/*4*/ return x;
/*5*/ if( even( n ) )
/*6*/ return( pow( x*x, n/2 ) );
else
/*7*/ return( pow( x*x, n/2 ) * x );
}

問 ：正如作者所說，

2 ^ 16最多需要8個乘法

2 ^ 15 ... 7 ...

2 ^ 14 ... 7 ...

2 ^ 13 ... 7 ...

2 ^ 12 ... 7 ...

實際上，我執行以下代碼：

2 ^ 16 .... 4 ...

2 ^ 15 .... 6 ...

2 ^ 14 ... 5 ...

2 ^ 13 ... 5 ...

2 ^ 12 ... 4 ...

那么，哪里出問題了？

Answer 1

找到x ^ n 最多需要 2個log n乘法，因為n / 2在每次迭代中都可能是奇數。 例如：

pow(2, 15) --> pow(2 * 2, 7) * 2
           --> pow(4 * 4, 3) * 4 * 2
           --> pow(16 * 16, 1) * 16 * 4 * 2

這是六個乘法（每個函數調用兩個乘法）。 2 * log（15）〜= 7.8 。 因此滿足了上限。 最好的情況是n的2的冪，僅需對數n乘法。

為了計算復雜度，請考慮該算法將n減少一半k倍，直到n在1和2之間； 也就是說，我們有：

^1≤N / _{2 ^k} <2

所以：

2 ^{k≤Ñ<2 K + 1}
⇒k≤log n <k + 1
⇒（log n）-1 <k≤log n

因此，該算法采取log n步，並且由於最壞的情況是每步兩次乘法，因此最多需要2 log n乘法。

Answer 2

沒有矛盾或錯誤-這本書給出了一個上限，您正在查看乘法的確切數量。

精確的乘法次數（對於n> 0）是floor（log_2（n））+ bitcount（n）-1。這只是通過檢查代碼-偶數情況（執行一次乘法）對應於0中的0位。輸入時，奇數情況（執行額外的乘法運算）對應於輸入中的1位，並且代碼到達最高位時停止。

這本書說2 * log_2（n）是乘法次數的上限。 這與確切的公式一致：floor（log_2（n））<= log_2（n）和bitcount（n）-1 <= log_2（n）。 所以floor（log_2（n））+ bitcount（n）-1 <= 2 * log_2（n）。

從精確的公式中，您可以看到n的位數越低，上限越差。 最壞的情況是n為2的冪，那么將精確執行log_2（n）乘法，並且上限以2為因數。最好的情況是n小於2的冪。 2：則上限僅偏離1。這與您的經驗結果表相符。