计算具有相同属性的两个给定二进制数之间存在多少个X位数为1位的二进制数

Question

一段时间以来，这一直是我的挑战。

给定两个表示二进制数的数组，A和C具有相同的大小，由数字0或1表示的位组成，使得C> A，并且都具有相同的X位数1，这是最有效的方法计算存在多少个二进制B，使得A <B <C，并且每个B也具有X个1位数字？

示例：对于A = {0,1,0,0,1} C = {1,0,1,0,0} X = 2
所有B均为{0,1,0,1,0}，{0,1,1,0,0}，{1,0,0,0,1}，{1,0,0,1,0 }，它会给我答案4。在01001和10100之间有4个二进制文件，带有2个“ 1”位。

我有一个算法可以给定一些A来生成下一个B，但是我觉得继续生成下一个B并检查我是否已经达到C二进制代码效率不高。

有什么方法可以在不生成B的情况下计算A和C之间B的确切数目？

Answer 1

不知道您是否在https://math.stackexchange.com/上找到了答案，但是让我take一下。

在下面的所有讨论中，我们只对X 1位的数字感兴趣。 为了简单起见，我不会再这么说了。

因此，假设我们可以计算低于给定值A的数字计数： smaller(A) 。 要找到A和C之间的数字计数，我们可以将其计算为smaller(C) - smaller(A) - 1 。

让我们定义计数多少数字与X个比特在Y位的空间中存在的功能， count(X, Y)例如count(1, 3) = 3 （ 001 ， 010 ， 100 ）和count(2, 3) = 3 （ 011 ， 101 ， 110 ）。 这是标准组合数学，即从袋子中拉出编号为1到Y的X球的组合数量。

count(X, Y) = Y! / ((Y-X)! * X!)

X!在哪里X! 是factorial(X) 。

现在，我将通过一个示例展示下一部分，如何计算smaller(A) 。 设A = 010010100 。

首先，计算右边的0（2）。 有然后count(1, 2)下面的数字A其中最右边的1比特被移动到右侧（ 010010010 ， 010010001 ）。

提示：使用count = Integer.numberOfTrailingZeros(A)

删除该1位，剩下A = 010010000 。

提示：使用A = A ^ (1 << count)

重复，即计数0（4），但是这次我们需要计数2位组合，即count(2, 4) 。

A = 010000000 ，这导致count(3, 7) A = 010000000 count(3, 7) 。

因此，由于1位分别位于第2、4和7位，我们可以计算出：

smaller(A) = count(1, 2) + count(2, 4) + count(3, 7)

现在，有了count(X, Y)高效实现，即使对于高位数，也可以计算A和C之间的数字计数。

无论如何，这是做到这一点的一种方法，但是数学方面的天才可能对此有更好的算法。