計算具有相同屬性的兩個給定二進制數之間存在多少個X位數為1位的二進制數

Question

一段時間以來，這一直是我的挑戰。

給定兩個表示二進制數的數組，A和C具有相同的大小，由數字0或1表示的位組成，使得C> A，並且都具有相同的X位數1，這是最有效的方法計算存在多少個二進制B，使得A <B <C，並且每個B也具有X個1位數字？

示例：對於A = {0,1,0,0,1} C = {1,0,1,0,0} X = 2
所有B均為{0,1,0,1,0}，{0,1,1,0,0}，{1,0,0,0,1}，{1,0,0,1,0 }，它會給我答案4。在01001和10100之間有4個二進制文件，帶有2個“ 1”位。

我有一個算法可以給定一些A來生成下一個B，但是我覺得繼續生成下一個B並檢查我是否已經達到C二進制代碼效率不高。

有什么方法可以在不生成B的情況下計算A和C之間B的確切數目？

Answer 1

不知道您是否在https://math.stackexchange.com/上找到了答案，但是讓我take一下。

在下面的所有討論中，我們只對X 1位的數字感興趣。 為了簡單起見，我不會再這么說了。

因此，假設我們可以計算低於給定值A的數字計數： smaller(A) 。 要找到A和C之間的數字計數，我們可以將其計算為smaller(C) - smaller(A) - 1 。

讓我們定義計數多少數字與X個比特在Y位的空間中存在的功能， count(X, Y)例如count(1, 3) = 3 （ 001 ， 010 ， 100 ）和count(2, 3) = 3 （ 011 ， 101 ， 110 ）。 這是標准組合數學，即從袋子中拉出編號為1到Y的X球的組合數量。

count(X, Y) = Y! / ((Y-X)! * X!)

X!在哪里X! 是factorial(X) 。

現在，我將通過一個示例展示下一部分，如何計算smaller(A) 。 設A = 010010100 。

首先，計算右邊的0（2）。 有然后count(1, 2)下面的數字A其中最右邊的1比特被移動到右側（ 010010010 ， 010010001 ）。

提示：使用count = Integer.numberOfTrailingZeros(A)

刪除該1位，剩下A = 010010000 。

提示：使用A = A ^ (1 << count)

重復，即計數0（4），但是這次我們需要計數2位組合，即count(2, 4) 。

A = 010000000 ，這導致count(3, 7) A = 010000000 count(3, 7) 。

因此，由於1位分別位於第2、4和7位，我們可以計算出：

smaller(A) = count(1, 2) + count(2, 4) + count(3, 7)

現在，有了count(X, Y)高效實現，即使對於高位數，也可以計算A和C之間的數字計數。

無論如何，這是做到這一點的一種方法，但是數學方面的天才可能對此有更好的算法。