使用R中的uniform（0,1）生成N（0,1）

Question

我正在尝试使用uniform（0,1）生成N（0,1）进行仿真，但是无法运行代码。

首先，通过使X成为正常CDF的主题，然后找出直方图来找到我的x。 接下来，施加法线以查看其是否适合。 下面是我的代码。

sigma=1; mu=0
u<-runif(n)
x<-mu + sqrt(2*sigma(log(u*sigma*sqrt(2*pi))))
hist(x, Freq=F)
xpt<-seq(-5,5,0.1)
ypt<-dnorm(xpt,0,1)
lines(xpt,ypt,col=2)

Answer 1

您似乎倒置了PDF（概率密度函数）而不是CDF（累积密度函数）。

实际上，反型CDF不会生成正态随机变量，因为其CDF并不是封闭形式。

查看Box-Muller变换 。 您模拟两组独立的统一随机变量：

u <- runif(1000)
v <- runif(1000)
x <- sqrt(-2 * log(u)) * cos(2 * pi * v)
# y <- sqrt(-2 * log(u)) * sin(2 * pi * v)

然后x来自N(0, 1) ， (x, y)是二元正态，均值和恒等协方差为零。

Answer 2

我所有评论的来源：

Averill M. Law，W。David Kelton，《 模拟建模与分析》 ，第三版，McGraw-Hill，2000年。ISBN：0-07-058290-4

可以通过生成两个U（0，1）随机变量来使用Box-Muller变换。

`x1 = sqrt(-2 * log(u1)) * cos(2 * pi * u2)`
`x2 = sqrt(-2 * log(u1)) * sin(2 * pi * u2)`

概括如下：

box_muller <- function(n = 1, mean = 0, sd = 1)
{
  x <- vector("numeric", n)

  i <- 1
  while(i <= n)
  {
    u1 <- runif(1, 0, 1)
    u2 <- runif(1, 0, 1)

    x[i] <- sqrt(-2 * log(u1)) * cos(2 * pi * u2)

    if ((i + 1) <= n)
    {
      x[i + 1] <- sqrt(-2 * log(u1)) * sin(2 * pi * u2)
      i <- i + 1
    }

    i <- i + 1
  }

  x * sd + mean
}

hist(box_muller(1000))

但是请注意，

尽管该方法在原理上是有效的，即如果U1和U2确实是IID U（0，1）随机变量，但是如果U1和U2实际上是由线性同余生成器生成的相邻随机数，则存在严重的困难。 （第465页）

Marsaglia Bray极地方法

此方法分为两步，其中

1. 生成U1和U2作为IID U（0，1）; 令V[i] = 2 * U[i] - 1因为i = 1，2 ； 令W = V[1]^2 + V[2]^2 。
2. 如果W > 1 ，则返回步骤1。否则，让Y = sqrt(-2 log(W)/W) ， X[1] = V[1] * Y ，而X[2] = V2 * Y 然后X[1]和X[2]是IID N（0，1）个随机变量。 （第466页）

执行：

marsaglia_bray <- function(n = 1, mean = 0, sd = 1)
{
  x <- vector("numeric", n)

  i <- 1

  while(i <= n)
  {
    u <- runif(2, 0, 1)
    v <- 2 * u - 1
    w <- sum(v^2)

    if (w < 1)
    {
      y <- sqrt(-2 * log(w) / w)

      z <- v * y

      x[i] <- z[1] 

      if ((i + 1) <= n)
      {
        x[i + 1] <- z[2]
        i <- i + 1
      }

      i <- i + 1
    }
  }

  x * sd + mean
}

hist(marsaglia_bray(1000))

您也可以考虑使用Ziggurat Alogrithm

Answer 3

如果要从反转CDF中真正采样，则CDF = 1/2（1 + erf（x-mu / sigma * sqrt（2）））

要反转它，您需要erf ^-1 （x），可以使用qnorm表示qnorm 。 沿线

erfinv <- function (x) {
    qnorm((1.0 + x)/2.0)/sqrt(2.0)
}

sample <- function(U01, mu, sigma) {
    N01 = sqrt(2.0) * erfinv( 2.0 * U01 - 1.0 )
    mu + sigma*N01
}

n = 10

u <- runif(n)
q <- sample(u, 0.0, 1.0)

print(u)
print(q)

在这里检查CDF和分位数功能