使用组合学改进计算外观的运行时间

Question

我想计算有多少d位数不包括数字9，因为它可以很大，输出模10 ^ 9 + 7。

我运行以下代码t次，最多10 ^ 18位数字，我想解决功能应该很容易，对吧？ 那么也许阅读或印刷需要花费很多时间。

任何提示如何加快速度？

main = do
    contents <- getContents
    let (t:ds) = (map read . words) contents
    let ans = map solve ds
    sequence_ (map print ans)

solve :: Integer -> Integer
solve ds = mod (8 * 9^(ds - 1)) (10^9 + 7)

Answer 1

我认为网站想要看到的是，你掌握了模数乘法的概念。 它认为：

(a * b) mod c == ((a mod c) * (b mod c)) mod c

此外，他们没有任意选择10^9+7 ：据我所知，它是一个巨大的素数而不是32位整数。 因此，我们可以使用Int32进行所有微积分 ，这比使用Integer （具有任意精度）更快。

乘法方法（效率较低）

因此，我们可以创建自己的mulmod函数：

mulmod :: Int32 -> Int32 -> Int32 -> Int32
mulmod m a b = mod (a*b) m

现在我们可以用以下公式计算模数m ：

solvemod :: Int32 -> Int -> Int32
solvemod m d = foldl (mulmod m) 8 (replicate (d-1) 9)

然后问题可以解决：

solve :: Int -> Int32
solve = solvemod (10^9+7)

对于给定的样本输入，它会导致：

Prelude> solve 1
8
Prelude> solve 2
72
Prelude> solve 100
343393926

这是 - 根据网站 - 正确。

权力方法

然而，它仍然是低效的。 我们可以定义一个类似的powmod ：

powmod :: Integral i => Int64 -> Int64 -> i -> Int64
powmod m = powmod'
    where powmod' _ 0 = 1
          powmod' a i | even i = rec
                      | otherwise = mod (a*rec) m
              where rec = powmod' (mod (a*a) m) (div i 2)

然后solve机制是：

solve :: Integral i => i -> Int64
solve d = mod (8 * powmod m 9 (d-1)) m
    where m = 10^9+7

再次导致：

*Main> solve 1
8
*Main> solve 2
72
*Main> solve 100
343393926
*Main> solve (10^18)
303706813

最后一个查询只花了几毫秒，所以我觉得这很有效。 我向Kattis提交了最后一种方法，并得到了：

15:29:31“我讨厌第九号”接受0.01秒Haskell

因此，只需0.01秒即可计算出测试用例。

Answer 2

是的，这只是一个算术问题，可以很容易地在基数9中处理，因为我们只会丢弃一个数字字符。 如果您不想使用2个数字字符，例如我不想要9和4，那么您应该使用8号基数。所以我的解决方案是;

solve :: Int -> Integer
solve n = (8*9^(n-1)) `mod` (10^9 + 7)

*Main> solve 1
8
*Main> solve 2
72
*Main> solve 100
343393926