如何有效地回答整数数组中的范围查询？

Question

如何有效地对整数数组进行查询和定范围？

查询仅是一种类型 ，在给定范围[a,b] ，查找less than x sum of elements之sum of elements （此处x是每个查询的一部分，以abx的形式abx ）。

最初，我尝试从字面上看从a到b并检查当前元素是否小于x并相加。 但是，由于复杂度为O（n），所以这种方法效率很低。

现在，我正在尝试使用段树并在合并时对数字进行排序。 但是现在我面临的挑战是如果我进行排序，那么我将失去整数的相对顺序。 因此，当查询到来时，我无法使用排序数组从a到b获取值。

Answer 1

以下是使用段树解决此问题的两种方法：

方法1

您可以使用已排序数组的分段树。

与往常一样，段树将您的数组划分为一系列大小不同的子范围。 对于每个子范围，您将存储条目的排序列表以及该排序列表的累积总和。 然后，您可以使用二进制搜索在任何子范围内找到低于阈值的条目总数。

给出查询时，首先要计算出覆盖[a，b]范围的O（log（n））子范围。 对于每一个，您都使用O（log（n））二进制搜索。 总体而言，这是O（qlog ^ 2n）复杂度，无法回答q个查询（加上预处理时间）。

您可以使用动态细分树。

段树可让您以O（logn）时间回答“将元素从a到b的总和”形式的查询，还可以修改O（logn）中的单个条目。

因此，如果从空的段树开始，则可以按升序重新插入条目。 假设我们添加了从1到5的所有条目，那么我们的数组可能如下所示：

[0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,4,4,0,0,5,1]

（0代表大于5的条目，因此尚未添加。）此时，您可以回答阈值为5的任何查询。

总的来说，这将花费O（nlog（n））将所有条目添加到分段树中，使用O（qlog（q））对查询进行排序，并花费O（qlog（n））使用分段树来回答查询。