二进制算术：为什么hash％n等价于hash＆（n-1）？

Question

我一直在研究Java HashMap源代码，它的一部分决定了放置一个对象的内容，并在Java 7（8）中看到了与Java 6相比的变化。另外，我进行了大量的实验，两个表达式都有相同的结果：

hash % n
and
hash & (n - 1)
where n - the array length that must be power of 2.

我只是想不通为什么是真的？ 是否有任何定理或某些数学定律证明这些陈述是平等的？ 基本上我想理解推论并证明这两个陈述的等价性。

PS。 如果n不是2数的幂，则等价性会立即中断。

Answer 1

如果n是2的幂，则表示其二进制表示为10000....
对于那个问题，n-1是1111111...少了一个数字。

这意味着带有(n-1)二进制＆-ing恰好保留了n-1设置的k中的位数。

实施例n = 8: 1000, n-1 = 7: 111
＆-ing例如k = 201: 11001001
k % n = k & (n-1) = 11001001 & 111 = 001 = 1 。

使用2的幂的％-ing意味着在二进制中你只需去掉上面（包括）唯一设置位的所有内容：对于n = 8，这意味着剥离所有内容（包括）第4位。 而这正是＆-ing所做的。

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副作用是使用&是可交换的： hash & (n - 1)等价于(n - 1) & hash ，对于%不是真的，许多地方的jdk源代码使用后者，例如在getNode

Answer 2

如果n是2的幂（或((1 << i) - 1) ，如果要简化对n的约束，请考虑(n - 1)的位：

如果n是16（ = 1 << 4) ，那么n - 1是15和16 （作为32位int ）的位表示是：

 1 = 00000000000000000000000000000001  // Shift by 4 to get...
16 = 00000000000000000000000000010000  // Subtract 1 to get...
15 = 00000000000000000000000000001111

因此，只有最低的4位在15中设置。如果你&另一个int，它只允许在结果中设置该数字的最后4位中的位，因此该值仅在0-范围内15，所以就像在做% 16 。

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但请注意，此等效性不适用于负的第一个操作数：

    System.out.println(-1 % 2);    // -1
    System.out.println(-1 & (2-1));  //  1

Ideone演示

Answer 3

整数/和%的算术规则是：

x*(y/x) + (y%x) = y

负hash -4和正n 8怎么样？

8*0 + (-4%8) = -4

因此模数保持符号。

-4 % 8 = -4
-4 & 7 = 4

要么：

int t = hash%n;
if (t < 0) {
   t += n;
}
assert t == (hash & (n-1));

所以在早期的Java中， %n hash必须是积极的开始。 现在哈希可能是负面的，更稳固和更好的散列。 所以这是java源代码中这种微妙变化的合理原因。

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背景：

2 ⁿ是1，后跟n-1 0 s（二进制）。 2 ⁿ - 1是n-1 1 s。

因此，对于n为2的正幂，以及一些正数h：

h % n == h & (n-1)

另一种用法是计算int中的位数。 Integer类具有这样的功能。

int bits = 0;
while (x != 0) {
    x &= x - 1;
    ++bits;
}