二進制算術：為什么hash％n等價於hash＆（n-1）？

Question

我一直在研究Java HashMap源代碼，它的一部分決定了放置一個對象的內容，並在Java 7（8）中看到了與Java 6相比的變化。另外，我進行了大量的實驗，兩個表達式都有相同的結果：

hash % n
and
hash & (n - 1)
where n - the array length that must be power of 2.

我只是想不通為什么是真的？ 是否有任何定理或某些數學定律證明這些陳述是平等的？ 基本上我想理解推論並證明這兩個陳述的等價性。

PS。 如果n不是2數的冪，則等價性會立即中斷。

Answer 1

如果n是2的冪，則表示其二進制表示為10000....
對於那個問題，n-1是1111111...少了一個數字。

這意味着帶有(n-1)二進制＆-ing恰好保留了n-1設置的k中的位數。

實施例n = 8: 1000, n-1 = 7: 111
＆-ing例如k = 201: 11001001
k % n = k & (n-1) = 11001001 & 111 = 001 = 1 。

使用2的冪的％-ing意味着在二進制中你只需去掉上面（包括）唯一設置位的所有內容：對於n = 8，這意味着剝離所有內容（包括）第4位。 而這正是＆-ing所做的。

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副作用是使用&是可交換的： hash & (n - 1)等價於(n - 1) & hash ，對於%不是真的，許多地方的jdk源代碼使用后者，例如在getNode

Answer 2

如果n是2的冪（或((1 << i) - 1) ，如果要簡化對n的約束，請考慮(n - 1)的位：

如果n是16（ = 1 << 4) ，那么n - 1是15和16 （作為32位int ）的位表示是：

 1 = 00000000000000000000000000000001  // Shift by 4 to get...
16 = 00000000000000000000000000010000  // Subtract 1 to get...
15 = 00000000000000000000000000001111

因此，只有最低的4位在15中設置。如果你&另一個int，它只允許在結果中設置該數字的最后4位中的位，因此該值僅在0-范圍內15，所以就像在做% 16 。

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但請注意，此等效性不適用於負的第一個操作數：

    System.out.println(-1 % 2);    // -1
    System.out.println(-1 & (2-1));  //  1

Ideone演示

Answer 3

整數/和%的算術規則是：

x*(y/x) + (y%x) = y

負hash -4和正n 8怎么樣？

8*0 + (-4%8) = -4

因此模數保持符號。

-4 % 8 = -4
-4 & 7 = 4

要么：

int t = hash%n;
if (t < 0) {
   t += n;
}
assert t == (hash & (n-1));

所以在早期的Java中， %n hash必須是積極的開始。 現在哈希可能是負面的，更穩固和更好的散列。 所以這是java源代碼中這種微妙變化的合理原因。

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背景：

2 ⁿ是1，后跟n-1 0 s（二進制）。 2 ⁿ - 1是n-1 1 s。

因此，對於n為2的正冪，以及一些正數h：

h % n == h & (n-1)

另一種用法是計算int中的位數。 Integer類具有這樣的功能。

int bits = 0;
while (x != 0) {
    x &= x - 1;
    ++bits;
}