对于IEEE float，C ++`digits10`是6，但是第一个不可表示的整数已经有8位数？

Question

C ++的std::numeric_limits<float>::digits10在cppref中描述如下：

std::numeric_limits<T>::digits10的值是可以由类型T表示而没有更改的基数为10的数字，也就是说，具有此多个十进制数字的任何数字都可以转换为类型的值T并返回小数形式，不会因舍入或溢出而改变。

C表兄弟FLT_DIG存在类似的描述。

给出的值是：

 float FLT_DIG /* 6 for IEEE float */ 

但是 ， 这里显示的是，在32位IEEE浮点类型中，高达16,777,216 （2 ²⁴ ）的所有整数都可以精确表示。 如果我能算，这个数字有8位，所以对于价值digits10实际上应该是7，现在不应该吗？

而是很明显，我误解了一些关于digits10这里，那么，这实际上告诉我吗？

---

实用性：

有人问我，如果我们能够从存储所有号码0.00 - 86,400.00正是在IEEE 32位浮点。

现在，我非常有信心我们可以在IEEE 32位浮点数中存储0到8,640,000所有数字，但这是否适用于向左移动2位数的相同“整数”范围？

Answer 1

（限制IEEE754 float答案）。

8.589973e9和8.589974e9都映射到8589973504 。 这是第7个有效数字被保留的断言的反例。

由于第6个有效数字上不存在这样的反例，因此std::numeric_limits<float>::digits10和FLT_DIG为6。

实际上，整数可以精确地表示为2的24 ^次幂。（ 16,777,216和16,777,217都映射到16,777,216 ）。 这是因为float具有24位有效数 。

Answer 2

正如另一个答案和评论所确定的digits10涵盖了所有“指数范围”，即它必须保持1234567以及1.234567和12345670000 - 这仅适用于6位数！

7位数的反例：

• 8.589,973 e9 vs. 8.589,974 e9 （来自cppref示例）

Answer 3

有时候很容易找到反例。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main(void) {
  int p6 = 1e6;
  int p7 = 1e7;
  for (int expo = 0; expo < 29; expo++) {
    for (int frac = p6; frac < p7; frac++) {
      char s[30];
      sprintf(s, "%d.%06de%+03d", frac / p6, frac % p6, expo);
      float f = atof(s);
      char t[30];
      sprintf(t, "%.6e", f);
      if (strcmp(s, t)) {
        printf("<%s> %.10e <%s>\n", s, f, t);
        break;
      }
    }
  }
  puts("Done");
}

产量

<8.589973e+09> 8.5899735040e+09 <8.589974e+09>
<8.796103e+12> 8.7961035080e+12 <8.796104e+12>
<9.007203e+15> 9.0072024760e+15 <9.007202e+15>
<9.223377e+18> 9.2233775344e+18 <9.223378e+18>
<9.444738e+21> 9.4447374693e+21 <9.444737e+21>
<9.671414e+24> 9.6714134744e+24 <9.671413e+24>
<9.903522e+27> 9.9035214949e+27 <9.903521e+27>
<1.000000e+28> 9.9999994421e+27 <9.999999e+27>  This is an interesting one

Answer 4

另一个角度来看：

考虑在每对2的幂之间，像IEEE二进制的float编码线性分布的2 ^23个值。

---

示例：介于2 ⁰和2 ¹或1.0和2.0之间，

float值之间的差异是1.0 / 2 ²³或10.192e-06。

以文本形式“1.dddddd”（7位数字）编写，数字相差1.000e-06。

因此，对于十进制文本编号的每一步，大约有10.2 float 。
编码这7位数字没有问题。
在此范围内，编码8位数也没有问题。

---

示例：介于2 ²³和2 ²⁴或8,388,608.0和16,777,216.0之间。

float值之间的差异是2 ^{23/2 23}或1.0。

以文本形式“8or9.ddddd * 10 ⁶ ”（7位有效数字）写的低端附近的数字相差1.0。

编码这7位数字没有问题。

---

示例：介于2 ³³和2 ³⁴或8,589,934,592.0和17,179,869,184.0之间，

之间的差float值是2 ^{33/2 23}或1,024.0。

以文本形式“8or9.ddddd * 10 ⁹ ”（7位有效数字）写的低端附近的数字相差1,000.0。

现在我们遇到了问题。 从8,589,934,592.0开始，接下来文本形式的1024个数字只有1000个不同的float编码。

---

d.dddddd * 10 ^expo形式的7位数字太多，无法使用float进行唯一编码。