有向图的最大简单循环

Question

图中的最大简单周期（乘积）

你好，

我构造了一个有向图G =（v，e），我想在此图中找到最大的简单循环，在该循环中，边权重被相乘而不是相加。 我这样做的最初方法是构造一个新图G =（v，e'），其中e'（i，j）= 1 / e（i，j）/ min（e'），然后应用Floyd-Warshall在此图上查找所有最短路径。 我的想法是，在反转图形之后，最大路径将变为最小，并且如果我们将其除以最小值，则所有边缘权重都将为“正”（> = 1，因为我们是相乘而不是相加）。 但是，当我运行算法时（下面是我的Python代码），它似乎不起作用，我想知道这是因为我的算法根本不起作用，还是因为我的代码错误。

#construct G' = (V,dist) for our modified Floyd-Warshall algorithm
# edge weights are initially the inverse of w(u,v). They are then all divided
# by the minimum value to ensure all are >= 1
dist = {}
nxt = {}
minimum = float("inf")
for i in e:
    dist[i] = {}
    nxt[i] = {}
    for j in e[i]:
        dist[i][j] = 1/e[i][j]
        nxt[i][j] = j
        if dist[i][j] < minimum:
            minimum = dist[i][j]

for i in dist:
    for j in dist[i]:
        dist[i][j] /= minimum

# Perform Floyd-Warshall
for k in v:
    for i in v:
        for j in v:
            try:
                one = dist[i][j]
                two = dist[i][k]
                three = dist[k][j]
            except KeyError:
                continue

            if one > two * three:
                dist[i][j] = two * three
                nxt[i][j] = nxt[i][k]

# Find the shortest cycle using shortest paths
minimum = float("inf")
for i in v:
    for j in v:
        if i == j:
            continue
        try:
            one = dist[i][j]
            two = dist[j][i]
        except KeyError:
            continue

        if one * two < minimum:
            minimum = one * two
            pair = [i,j]

def Path(u,v):
    if nxt[u][v] == None:
        return []
    path = [u]
    while u != v:
        u = nxt[u][v]
        path.append(u)
    return path

# Format the cycle for output
p1 = Path(pair[0],pair[1])
p2 = Path(pair[1],pair[0])
p = p1 + p2[1:]
print(p)

# Find the total value of the cycle
value = 1
for i in range(len(p)-1):
    value *= e[p[i]][p[i+1]]

print('The above cycle has a %f%% weight.'  % ((value-1)*100))

我用图形G =（V，E）测试了上面的示例，其中

V = {a,b,c,d}, and 
E = {
    (a,b): 1/0.00005718 * 0.9975, 
    (a,c): 1/0.03708270 * 0.9975,
    (a,d): 18590.00000016 * 0.9975, 
    (b,a): 0.00010711 * 0.9975,
    (b,c): 0.00386491 * 0.9975, 
    (c,a): 0.03700994 * 0.9975,
    (c,b): 1/18590.00000017 * 0.9975,
    (c,d): 688.30000000 * 0.9975,
    (d,a): 1/18590.00000017 * 0.9975,
    (d,c): 1/688.30000000 * 0.9975
}

上图的输出是周期[a,d,a]最好，权重为86.385309％。 但是，正如我们所看到的，周期[a,b,c,a]权重为148.286055％，这要好得多，这使我相信算法错误或在某处出错。

任何建议深表感谢！

Answer 1

我认为问题不是实现，而是算法。 确实采用以下具有四个顶点a，b，c和d以及以下边的示例：

W（A，B）= 10/3

瓦特（B，C）= 10

瓦特（C，d）= 5

瓦特（d，A）= 10/3

瓦特（d，B）= 5

然后，您的算法将返回有向循环（b，c，d，b），而最佳解决方案是（a，b，c，d，a）。

此外，您还应该知道问题可能是NP完全的，因为最长路径问题是NP完全的（即使Shortest Path problem可以在多项式上解决），所以只有少数希望有一个如此简单的算法为您的问题。