我的Java Sieve代码很慢，无法按预期的时间复杂度进行扩展

Question

我用Java编写了以下“分段筛”程序。 筛选需要一定范围的数字，使用“筛除质数”（质数arraylist变量）将合成数相除，然后返回尚未被相除的质数。 这是代码：

public ArrayList<Integer> sieveWorker(int start, int last, ArrayList<Integer> primes) {

    System.out.println("Thread started for range: " + start + "-" + last);
    ArrayList<Integer> nonPrimes = new ArrayList<Integer>();
    ArrayList<Integer> primeNumbers = new ArrayList<Integer>();
    ArrayList<Integer> numbers = new ArrayList<Integer>();

    //numbers to be sieved
    for (int i = start; i <= last; i += 2) {
        numbers.add(i);
    }

    //identifies composites of the sieving primes, then stores them in an arraylist
    for (int i = 0; i < primes.size(); i++) {

        int head = primes.get(i);

        if ((head * head) <= last) {
            if ((head * head) >= start) {
                for (int j = head * head; j <= last; j += head * 2) {
                    nonPrimes.add(j);
                }
            } else {
                int k = Math.round((start - head * head) / (2 * head));
                for (int j = (head * head) + (2 * k * head); j <= last; j += head * 2) {
                    nonPrimes.add(j);
                }
            }
        }

    }

    numbers.removeAll(nonPrimes);
    System.out.println("Primes: " + numbers);
    return numbers;
}

我的问题是它非常慢，并且执行时的复杂度为o（n ^ 3），而不是预期的复杂度为o（n log log n）。 我需要有关优化和纠正其时间复杂度的建议。

Answer 1

罪魁祸首是numbers.removeAll(nonPrimes)调用，它针对数字中的每个numbers （并且有O（n）个）潜在地搜索所有非nonPrimes （并且它们中有O（n个log log个） ）以进行检查成员资格（ nonPrimes也未排序）。 n是numbers的长度， n = last - start 。

因此，代替每个非质数的O（1） 标记 ，您可以对它们中的每个O（n）进行O（n log log last）实际删除。 因此，上述O（n ^ 2）操作总体而言。

解决此问题的一种方法是使用简单的数组，并标记非素数。 删除会破坏直接地址功能。 如果完全使用它，则操作必须在线 ，每个数字接近O（1）个操作。 这可以通过使非素数成为有序列表，然后将其从线性迭代的数字中删除来实现。 同样，这两个任务最容易用数组完成。

Answer 2

说明

numbers.removeAll(nonPrimes);

必须找到元素。 基本上， 包含和包含在ArrayList上的速度很慢， O(n) 。

它从左到右迭代整个列表，并删除匹配的元素。 它会对nonPrimes集合中的每个元素执行此操作。 因此，仅对于removeAll部分，您将获得O(n * |nonPrimes|)的复杂度。

---

解

有一个简单的解决方法，可以交换您的数据结构。 为O(1)构造的HashSet结构包含查询。 因为你只需要add和removeAll上numbers ，可以考虑使用HashSet相反，它运行在两个O(1) （ammortized）。

仅更改代码：

Set<Integer> numbers = new HashSet<>();

另一种可能性是进行一些算法更改。 您可以通过在收集元素时标记元素来最终避免removeAll 。 好处是您可以使用数组。 这样做的最大好处是，您可以避免使用盒装的Integer类，而直接在原语int上运行，而原语int更快，并且不会占用太多空间。 有关此方法的详细信息，请检查@Will_Ness的答案。

---

注意

您的primeNumbers变量从未在您的方法中使用。 考虑删除它。