java代码的时间复杂度

Question

我正在学习课程的算法课程，我坚持这个特殊的问题。 我应该找到这段代码的时间复杂度。

int sum = 0

 for (int i = 1; i <= N*N; i = i*2)

  {
     for (int j = 0; j < i; j++)
           sum++; 
  }

我在eclipse本身检查了它，对于N的任何值，sum语句的执行次数小于N.

final value of sum:
for N=8 sum=3 
for N=16 sum=7 
for N=100000 sum=511

因此，时间复杂度应小于N，但给出的答案是N提升到幂2，怎么可能？

到目前为止我做了什么：

第一个循环将运行log（N ^ 2）次，因此第二个循环将执行1,2,3 .. 2 logN

Answer 1

第一个内环将是1 + 2 + 4 + 8 .. 2 ^ M，其中2 ^ M <= N * N.

2到N * N的幂的总和约为2 * N * N或O（N ^ 2）

注意：当N = 100000时，N * N将溢出，因此其结果具有误导性。 如果你认为溢出是问题的一部分，对于大数，总和是相当随机的，所以你可以争论它的O（1），即如果N = 2 ^ 15，N ^ 2 = 2 ^ 30并且总和将是整数.MAX_VALUE。 没有更高的N值会给出更高的总和。

Answer 2

这里存在很多混淆，但重要的是Big-O符号完全与增长率有关，或者像数学家所说的那样限制行为 。 函数将在O（n * n）中执行意味着执行的时间将比例如n增加得更快，但是比例如2 ^ n更慢。

在使用big-O表示法进行推理时，请记住常量“不计算”。 这个特定问题有几个问题。

• 如果循环是一个常规的for循环，那么N*N表达式会导致O（log n * n）复杂度...
• ...但是，for循环增量是i = i*2导致外循环执行大约log n，如果内循环的内容在一个独立的时间内运行，函数将在O（log n）中n 。
• 但同样，内循环运行时依赖于n ，但它不执行n * n次运行，而是大致记录log（n * n）/ 2循环。 记住“常数不计算”，我们最终得到O（n * n）。

希望这能解决问题。

Answer 3

因此sum ++将执行1 + 2 + 4 + 8 + ... + N * N，总log2（N * N）次。 几何级数之和1 *（1 - 2 ^ log2（N * N）/（1-2）= O（N * N）。

Answer 4

你的外环是log（N ^ 2） - > 2 * log（N） - > log（N），你的内环是N ^ 2 / 2-> N ^ 2。 因此，时间复杂度为N ^ 2 * log（N）。

关于基准测试，N = 8或N = 16的值是荒谬的，循环中的时间与设置JVM，缓存失败等相关是微不足道的。 你必须：

从最大的N开始，检查它的评估方式。

使用N的每个值进行多次运行。

认为时间复杂度是当N变得非常大时算法如何工作的度量。