java代碼的時間復雜度

Question

我正在學習課程的算法課程，我堅持這個特殊的問題。 我應該找到這段代碼的時間復雜度。

int sum = 0

 for (int i = 1; i <= N*N; i = i*2)

  {
     for (int j = 0; j < i; j++)
           sum++; 
  }

我在eclipse本身檢查了它，對於N的任何值，sum語句的執行次數小於N.

final value of sum:
for N=8 sum=3 
for N=16 sum=7 
for N=100000 sum=511

因此，時間復雜度應小於N，但給出的答案是N提升到冪2，怎么可能？

到目前為止我做了什么：

第一個循環將運行log（N ^ 2）次，因此第二個循環將執行1,2,3 .. 2 logN

Answer 1

第一個內環將是1 + 2 + 4 + 8 .. 2 ^ M，其中2 ^ M <= N * N.

2到N * N的冪的總和約為2 * N * N或O（N ^ 2）

注意：當N = 100000時，N * N將溢出，因此其結果具有誤導性。 如果你認為溢出是問題的一部分，對於大數，總和是相當隨機的，所以你可以爭論它的O（1），即如果N = 2 ^ 15，N ^ 2 = 2 ^ 30並且總和將是整數.MAX_VALUE。 沒有更高的N值會給出更高的總和。

Answer 2

這里存在很多混淆，但重要的是Big-O符號完全與增長率有關，或者像數學家所說的那樣限制行為 。 函數將在O（n * n）中執行意味着執行的時間將比例如n增加得更快，但是比例如2 ^ n更慢。

在使用big-O表示法進行推理時，請記住常量“不計算”。 這個特定問題有幾個問題。

• 如果循環是一個常規的for循環，那么N*N表達式會導致O（log n * n）復雜度...
• ...但是，for循環增量是i = i*2導致外循環執行大約log n，如果內循環的內容在一個獨立的時間內運行，函數將在O（log n）中n 。
• 但同樣，內循環運行時依賴於n ，但它不執行n * n次運行，而是大致記錄log（n * n）/ 2循環。 記住“常數不計算”，我們最終得到O（n * n）。

希望這能解決問題。

Answer 3

因此sum ++將執行1 + 2 + 4 + 8 + ... + N * N，總log2（N * N）次。 幾何級數之和1 *（1 - 2 ^ log2（N * N）/（1-2）= O（N * N）。

Answer 4

你的外環是log（N ^ 2） - > 2 * log（N） - > log（N），你的內環是N ^ 2 / 2-> N ^ 2。 因此，時間復雜度為N ^ 2 * log（N）。

關於基准測試，N = 8或N = 16的值是荒謬的，循環中的時間與設置JVM，緩存失敗等相關是微不足道的。 你必須：

從最大的N開始，檢查它的評估方式。

使用N的每個值進行多次運行。

認為時間復雜度是當N變得非常大時算法如何工作的度量。