如何将布尔函数转换为二元决策图

Question

假设我有以下布尔函数：

or(x, y) := x || y
and(x, y) := x && y
not(x) := !x
foo(x, y, z) := and(x, or(y, z))
bar(x, y, z, a) := or(foo(x, y, z), not(a))
baz(x, y) := and(x, not(y))

现在我想从它们构建一个二元决策图。 我已经浏览了几篇论文，但无法找到如何从这些嵌套的逻辑公式中构建它们。

据说布尔函数是一个有根、有向、无环图。 它有几个非终端节点和终端节点。 然后它说每个非终结节点都由一个布尔变量（不是函数）标记，它有两个子节点。 我不知道上面的函数定义中的布尔变量是什么。 从节点到子的边缘a或b分别表示节点的分配新建分配FY为0或1。 如果同构子图已经合并，并且两个子节点是同构的节点被删除，则称为缩减。 这是一个降序二元决策图 (ROBDD)。

从中，以及从我遇到的所有资源中，我一直无法弄清楚如何将这些函数转换为 BDD/ROBDD：

foo(1, 0, 1)
bar(1, 0, 1, 0)
baz(1, 0)

或者也许正是这些需要转换：

foo(x, y, z)
bar(x, y, z, a)
baz(x, y)

寻求帮助以解释我需要做什么才能使其成为有根、有向、无环图。 了解数据结构的外观也会有所帮助。 似乎只是这样：

var nonterminal = {
  a: child,
  b: child,
  v: some variable, not sure what
}

但接下来的问题是如何从这些函数foo 、 bar和baz构建图形。

Answer 1

基本逻辑运算 AND、OR、XOR 等都可以在 BDD 表示的函数之间计算，以产生 BDD 表示的新函数。 除了它们如何处理终端之外，这些算法都相似，大致是这样的：

• 如果结果是终端，则返回该终端。
• 如果(op, A, B)被缓存，则返回缓存的结果。

• 区分3种情况（实际上你可以概括这个..）

  1. A.var == B.var ，创建一个节点(A.var, OP(A.lo, B.lo), OP(A.hi, B.hi))其中OP代表递归调用这个过程。
  2. A.var < B.var ，创建一个节点(A.var, OP(A.lo, B), OP(A.hi, B))
  3. A.var > B.var ，创建一个节点(B.var, OP(A, B.lo), OP(A, B.hi))
• 缓存结果

“创建节点”当然应该对自身进行重复数据删除，以满足“减少”的要求。 3 种情况下的拆分可满足订购要求。

通过自下而上地应用这种方法，可以在 BDD 中转换作为简单操作树的复杂函数，每次只执行 BDD 的简单组合。 这当然会生成不属于最终结果的节点。 变量和常量具有微不足道的 BDD。

例如， and(x, or(y, z))是通过深度优先进入该树创建的，为变量x （一个平凡节点， (x, 0, 1) ）创建一个 BDD，然后为y和z ，在表示y和z的 BDD 上执行OR （上述算法的一个实例，其中只有第一步真正关心操作是OR ），然后对结果执行AND和 BDD 表示变量x . 确切的结果取决于您选择的变量排序。

评估自身内部其他函数的函数需要函数组合（如果已经用 BDD 表示被调用的函数），这在 BDD 中是可能的，但有一些糟糕的最坏情况，或者只是内联被调用函数的定义。

Answer 2

您可以通过评估所有变量赋值来实现，例如

foo(0,0,0) = 0
foo(0,0,1) = 0
foo(0,1,0) = 0
...

然后创建图形，从根开始。 每个函数参数都有一条边标记为赋值，叶节点标记为结果值：

x0 -0-> y0 -0-> z0 -0-> 0
x0 -0-> y1 -0-> z1 -1-> 0
x0 -0-> y2 -1-> z2 -0-> 0
...

合并节点（y0 = y1 = y2，z0 = z1）：

x0 -0-> y0 -0-> z0 -0-> 0
x0 -0-> y0 -0-> z0 -1-> 0
x0 -0-> y0 -1-> z1 -0-> 0
...

减少节点（有一些规则允许加入节点或跳过节点）。 例如，由于根的0总是通向叶0您可以跳过后面的决定：

x0 -0-> 0
...

请注意，必须使用要在以下图形边缘上分配的变量名称来标记节点。 该算法并不是很复杂（当然存在更有效的算法），但我希望它可以将策略可视化。

Answer 3

用于存储 BDD 的数据结构可以基于(level, u, v)形式的三元组，其中u是布尔函数所在的节点，当level的变量为 FALSE 时， v是布尔函数所在的节点，当level的变量为 TRUE。

所描述的示例可以使用 Python 包dd进行编程（ pip install dd安装纯 Python 实现）。 代码将是

from dd import autoref as _bdd

bdd = _bdd.BDD()
bdd.declare('x', 'y', 'z', 'a')
x_or_y = bdd.add_expr('x \/ y')
x_and_y = bdd.add_expr('x /\ y')
not_x = bdd.add_expr('~ x')

# variable renaming: x to y, y to z
let = {'x': 'y', 'y': 'z'}
y_or_z = bdd.let(let, x_or_y)

# using the method `BDD.apply`
foo = bdd.apply('and', bdd.var('x'), y_or_z)

# using a formula
foo_ = bdd.add_expr('x /\ (y \/ z)')
assert foo == foo_

# using the string representation of BDD node references
foo_ = bdd.add_expr('x /\ {u}'.format(u=y_or_z))
assert foo == foo_

bar = bdd.apply('or', foo, ~ bdd.var('a'))
bar_ = bdd.add_expr('{u} \/ ~ a'.format(u=foo))

assert bar == bar_

let = {'y': ~ bdd.var('y')}
baz = bdd.let(let, x_and_y)
baz_ = bdd.add_expr('x /\ ~ y')
assert baz == baz_
# plotting of the diagram using GraphViz
bdd.dump('foo.png', [foo])

此示例包括在 BDD 之间直接应用运算符（使用方法BDD.apply或解析调用这些运算符的布尔公式）和表示为 BDD 的函数的函数组合（使用方法BDD.let重命名变量并替换BDD 表示变量，语法'{u}'.format(u=...)表示对 BDD 节点的引用的字符串表示）。

绘制布尔函数 foo 的结果如下所示（由上面代码中的bdd.dump语句生成）。