[英]Count of combinations with repetitions
我有一种非常低效的方法来计算大小为 N 的数组中N/2项目的组合。我所做的是对数组进行排序，然后遍历数组的排列，创建包含一半元素的多重集和将其插入到一个集合中。 最后我得到了集合的计数。
long GetCombinations(std::vector<double> nums) {
long combinations = 0;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::set<std::multiset<double>> super_set;
do {
std::multiset<double> multi_set;
for (unsigned int i = 0; i < nums.size() / 2; ++i)
multi_set.insert(nums[i]);
auto el = (super_set.insert(multi_set));
if (el.second)
++combinations;
} while (std::next_permutation(nums.begin(), nums.end()));
return combinations;
}
该代码有效，但效率非常低。 对于给定的数组[0.5, 0.5, 1, 1]有 3 种大小为 2 的组合：
0.5, 0.5
1, 1
1, 0.5
是否有不同的算法或方法可以提高此代码的速度？
一般来说，确定特定集合的组合数是非常简单的。 但是，将其扩展到每个元素重复特定次数的多重集要困难得多，并且没有很好的记录。 @WorldSEnder 链接到一个 math/stackexchange 答案，该答案有一个评论，其中包含指向 Frank Ruskey 撰写的名为Combinatorial Generation的组合数学中这篇精彩文章的链接。 如果您转到第 71 页，则有一个部分更严格地处理此主题。
{a, b}与{a, a, b}相同{a, a, b}并且都具有基数 2{a, b}和{a, a, b}是基数分别为 2 和 3 的不同多重集人们相信有一个简单的公式可以快速计算长度为k的多组的组合数，其中每个元素重复特定次数（请参阅上面高度赞成的评论）。 下面，我们检查每种众所周知的方法。
让我们从二项式系数的一般应用开始。 我们立即看到这将失败，因为它严格用于计算set的组合数，其中不允许重复条目。 在我们的例子中，允许重复。
在 Wikipedia 页面上进一步阅读，有一个部分称为重复组合数。 这看起来很有希望，因为我们确实有一些复制。 我们还看到了修改后的二项式系数，这似乎更有希望。 仔细观察会发现这也会失败，因为这严格适用于每个元素最多重复k次的多重集。
最后，我们尝试使用多重集系数。 列出的示例之一看起来与我们试图完成的非常相似。
“首先，考虑表示 {a, a, a, a, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, d, d, d, d} (6如, 2 bs, 3 cs, 7 ds) 以这种形式："
这看起来是我们试图推导出的一个很好的候选者。 但是，您将看到它们继续推导出可以从 4 个不同元素的集合构造基数为 18 的多重集的方法数。 这相当于长度为 4 的 18 个整数组合的数量。例如
18 + 0 + 0 + 0
17 + 1 + 0 + 0
16 + 2 + 0 + 0
.
.
.
5 + 4 + 6 + 3
4 + 5 + 6 + 3
3 + 6 + 6 + 3
.
.
.
0 + 1 + 0 + 17
0 + 0 + 1 + 17
0 + 0 + 0 + 18
正如您所看到的，顺序与构图很重要，这显然不适用于我们的情况。
提到的最后两种方法源自著名的Stars and Bars方法，用于解决简单的计数问题。 据我所知，这种方法不能轻易扩展到我们的情况。
unsigned long int getCombinationCount(std::vector<double> nums) {
unsigned long int n = nums.size();
unsigned long int n2 = n / 2;
unsigned long int numUnique = 1;
unsigned long int numCombinations;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::vector<int> numReps;
double testVal = nums[0];
numReps.push_back(1);
for (std::size_t i = 1; i < n; ++i) {
if (nums[i] != testVal) {
numReps.push_back(1);
testVal = nums[i];
++numUnique;
} else {
++numReps[numUnique - 1];
}
}
int myMax, r = n2 + 1;
std::vector<double> triangleVec(r);
std::vector<double> temp(r);
double tempSum;
myMax = r;
if (myMax > numReps[0] + 1)
myMax = numReps[0] + 1;
for (int i = 0; i < myMax; ++i)
triangleVec[i] = 1;
temp = triangleVec;
for (std::size_t k = 1; k < numUnique; ++k) {
for (int i = n2; i > 0; --i) {
myMax = i - numReps[k];
if (myMax < 0)
myMax = 0;
tempSum = 0;
for (int j = myMax; j <= i; ++j)
tempSum += triangleVec[j];
temp[i] = tempSum;
}
triangleVec = temp;
}
numCombinations = (unsigned long int) triangleVec[n2];
return numCombinations;
}
传统帕斯卡三角（PT 从这里开始）中的条目表示二项式系数，其中三角形的行是您集合中元素的数量，列是您希望生成的组合的长度。 三角形的构建是我们如何解决手头问题的关键。
如果您注意到对于传统 PT，要获取特定条目，例如(i, j) ，其中i是行， j是列，则必须添加条目(i - 1, j - 1)和(i - 1, j) 。 这是一个插图。
1
1 1
1 2 1 N.B. The first 10 is in the 5th row and 3rd column
1 3 3 1 and is obtained by adding the entries from the
1 4 6 4 1 4th row and 2nd/3rd.
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
我们可以将其扩展到一个通用的多重集，其中每个元素重复特定的次数。 让我们考虑几个例子。
示例 1： v1 = {1, 2, 2} ， v2 = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和v3 = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}
下面我们有v1 choose 1 - 3以及v2 choose 1 - 6所有可能组合。
[,1] [,1]
[1,] 1 [1,] 1
[2,] 2 [2,] 2
[3,] 3
[,1] [,2] [,1] [,2]
[1,] 1 2 [1,] 1 2
[2,] 2 2 [2,] 1 3
[3,] 2 2
[4,] 2 3
[5,] 3 3
[,1] [,2] [,3] [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 2 [1,] 1 2 2
[2,] 1 2 3
[3,] 1 3 3
[4,] 2 2 3
[5,] 2 3 3
[6,] 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 2 3
[2,] 1 2 3 3
[3,] 1 3 3 3
[4,] 2 2 3 3
[5,] 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 2 3 3
[2,] 1 2 3 3 3
[3,] 2 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 2 2 3 3 3
让我们写下v1和v2所有k的组合数。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
我将给你v3所有k的组合数（我将留给读者枚举它们）。
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们以一种特殊的方式组合上述结果，并注意到事情开始看起来非常熟悉。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们添加了一些作为占位符来完成这个修改后的 PT
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
这是什么意思？ 有点清楚的是，每个连续行中的数字都是前一行中数字的组合。 但是怎么办？...
我们让每个元素的频率引导我们。
例如，要获得代表v2 choose 1 - 6组合数的第三行， v2 choose 1 - 6 （忽略前 1 个），我们看第 2 行。由于第 3 个元素的频率为 3，我们将 4 个元素（3 + 1.. 就像使用二项式系数查找具有不同元素的集合的组合数一样，我们在上面的行中将 2 个条目加在一起或 1 + 1)，其中该列小于或等于我们正在查找的列。 所以我们有：
if the column index is non-positive or greater than the
number of columns in the previous row, the value is 0
v2 choose 3
(3, 2) = (2, 2 - 3) + (2, 2 - 2) + (2, 2 - 1) + (2, 2 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 2
= 3
v2 choose 4
(3, 3) = (2, 3 - 3) + (2, 3 - 2) + (2, 3 - 1) + (2, 3 - 0)
= 0 + 1 + 2 + 2
= 5
v2 choose 5
(3, 4) = (2, 4 - 3) + (2, 4 - 2) + (2, 4 - 1) + (2, 4 - 0)
= 1 + 2 + 2 + 1
= 6
v2 choose 6 outside of range
(3, 5) = (2, 5 - 3) + (2, 5 - 2) + (2, 5 - 1) + (2, 5 - 0)
= 2 + 2 + 1 + 0
= 5
etc.
继续这个逻辑，让我们看看我们是否可以获得v3的k组合数。 由于第 4 个元素的频率是 4，我们需要将 5 个条目加在一起。
v3 choose 3
(4, 2) = (3, 2 - 4) + (3, 2 - 3) + (3, 2 - 2) + (3, 2 - 1) + (3, 2 - 0)
= 0 + 0 + 0 + 1 + 3
= 4
v3 choose 4
(4, 3) = (3, 3 - 4) + (3, 3 - 3) + (3, 3 - 2) + (3, 3 - 1) + (3, 3 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 3 + 5
= 9
v3 choose 5
(4, 4) = (3, 4 - 4) + (3, 4 - 3) + (3, 4 - 2) + (3, 4 - 1) + (3, 4 - 0)
= 0 + 1 + 3 + 5 + 6
= 15
v3 choose 6
(4, 5) = (3, 5 - 4) + (3, 5 - 3) + (3, 5 - 2) + (3, 5 - 1) + (3, 5 - 0)
= 1 + 3 + 5 + 6 + 5
= 20
etc.
事实上，我们确实得到了正确数量的v3的k组合。
示例 2： z1 = {1,1,1,2} ， z2 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3}和z3 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,4,4}
您会注意到我们正在构建这些向量，使得每个连续的向量都包含前一个向量。 我们这样做是为了能够正确构建我们修改后的 PT。 这类似于传统的 PT，对于每一行，我们只是在前一行添加一个数字。 这些向量的修改后的 PT 是：
1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 3 5 7 8 8 7 5 3 1
1 4 9 15 20 23 23 20 15 9 4 1
让我们构造z2 choose 6和z3 choose 9 ，看看我们是否正确：
z2 choose 6
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 1 2 3 3
[2,] 1 1 1 3 3 3 This shows that we produce 7 combs
[3,] 1 1 2 3 3 3 just as predicted by our modified
[4,] 1 1 3 3 3 3 PT (i.e. entry (3, 6 + 1) = 7)
[5,] 1 2 3 3 3 3
[6,] 1 3 3 3 3 3
[7,] 2 3 3 3 3 3
z3 choose 9
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 1 1 1 2 3 3 3 3 3
[2,] 1 1 1 2 3 3 3 3 4
[3,] 1 1 1 2 3 3 3 4 4 This shows that we produce 9
[4,] 1 1 1 3 3 3 3 3 4 combs just as predicted by
[5,] 1 1 1 3 3 3 3 4 4 our modified PT (i.e. entry
[6,] 1 1 2 3 3 3 3 3 4 (4, 9 + 1) = 9)
[7,] 1 1 2 3 3 3 3 4 4
[8,] 1 1 3 3 3 3 3 4 4
[9,] 1 2 3 3 3 3 3 4 4
快速说明一下，第一行占位符类似于传统 PT 的第二行（即1 1 ）。 粗略地说（参见边缘情况的代码），如果第一个元素的频率为m ，则修改后的 PT 的第一行将包含m + 1个。
正如您从上面的 2 个示例中看到的，修改后的 PT 基于特定的多重集，因此无法推广。 即使您考虑由相同的不同元素组成的某些基数的多重集，修改后的 PT 也会有所不同。 例如，多重集a = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和b = {1, 1, 2, 2, 3, 3}生成以下修改后的 PT：
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
请注意， a choose 2 = 5而b choose 2 = 6 。
这是ideone的链接，演示了新算法的加速。 对于向量{4, 2, 6, 4, 9, 8, 2, 4, 1, 1, 6, 9} ，原始的时序是2285718时钟滴答，而上述算法总共完成了8时钟滴答加速2285728 / 8 = 285714.75 ... 快十万倍。 它们都返回相同数量的组合（即 122）。 大多数速度提升来自避免显式生成任何组合（或 OP 代码所做的排列）。
计算组合的有效算法，数组的重复加起来等于给定的总和
[英]Efficient algorithm to compute combinations with repetitions of an array adding up to given sum
是否有比HashTable最快的方法来计算数组中的对象重复次数？
[英]Is there a fastest way to count object repetitions in an array than a HashTable?
如果一个单词在一个字符串中重复多次，我如何计算单词的重复次数及其位置？
[英]If a word is repeated many times in a string, how can I count the number of repetitions of the word and their positions?
声明:本站的技术帖子网页，遵循CC BY-SA 4.0协议，如果您需要转载，请注明本站网址或者原文地址。任何问题请咨询:yoyou2525@163.com.