计算组合的有效算法，数组的重复加起来等于给定的总和

Question

因此，在个人 C++ 项目中，我遇到了一个问题。 我将其改写如下：

给定一个包含n 个元素的数组（例如 [1, 3, 5]，其中 n = 3 个元素），其中第i个 position 处的数字表示第i个索引处的数字可以取多少个可能值（例如，这里的第一个元素可以取 1 个值，即 0；第二个元素可以取 0,1,2 中的 3 个值；第三个元素可以取 0,1,2,3,4 中的 5 个值）。

我需要列出所有可能的 arrays 长度n总和小于或等于给定数字k 。 这是一个例子：

输入 1 ：

输入数组 = [2,2]; k = 2

Output 1 ：

[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]

另外，例如：

输入 2 ：

输入数组 = [2,2]; k = 1

Output 2 :

[0,0], [0,1], [1,0]

问题：

我编写了一个简单的递归和一个简单的迭代解决方案，它枚举了所有 arrays 并且只保留总和小于 k 的那些。 这些问题在于，对于n 很大且 k = 1的情况，我的代码需要很长时间才能运行，因为它枚举了所有情况并保留了一些情况。

我看不到任何重叠的子问题，所以我觉得 DP 和 memoization 不适用。 我怎样才能为此工作编写所需的 C++ 代码？

这是我的迭代版本代码：

// enumerates all arrays which sum up to k

vector<vector<int> > count_all_arrays(vector<int> input_array, int k){

    vector<vector<int> > arr;
    int n = (int)input_array.size();

    // make auxilliary array with elements

    for(int i = 0; i < n; i++){
        vector<int> temp(input_array[i]);
        std::iota(temp.begin(), temp.end(), 0);
        arr.push_back(temp);
    }

    // computes combinations

    vector<int> temp(n);
    vector<vector<int> > answers;
    vector<int> indices(n, 0);
    int next;

    while(1){ 
        temp.clear();
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            temp.push_back(arr[i][indices[i]]);  
        long long int total = accumulate(temp.begin(), temp.end(), 0);
        if(total <= k)
            answers.push_back(temp);
        next = n - 1; 
        while (next >= 0 &&  
              (indices[next] + 1 >= (int)arr[next].size())) 
            next--; 
        if (next < 0) 
            break; 
        indices[next]++; 
        for (int i = next + 1; i < n; i++) 
            indices[i] = 0; 
    }
    return answers;
}

Answer 1

这是一个非常简单的递归任务：

#include <bits/stdc++.h>    
using namespace std;

int arr[] = {2, 2};
int n = 2;
int k = 2;

void gen(int pos, int sum, string s){
    if(pos == n){
        cout<<"["<<s<<" ]"<<endl;
        return;
    }
    for(int i = 0; i < arr[pos]; i++){
        if(sum + i > k) return;
        gen(pos + 1, sum + i, s + " " + to_string(i));
    }
}

int main(){
    gen(0, 0, "");
    return 0;
}

只需为数组的每个插槽生成所有可能性，对于每个选择，将总和用于评估下一个插槽。

当n很大且k = 1时，很自然需要 O(n)，因为您将拥有：

[0, 0, 0, ..., 0, 0, 1]
[0, 0, 0, ..., 0, 1, 0]
[0, 0, 0, ..., 1, 0, 0]
          ...
[0, 0, 1, ..., 0, 0, 0]
[0, 1, 0, ..., 0, 0, 0]
[1, 0, 0, ..., 0, 0, 0]

Answer 2

您应该使用 dp 使其在任何情况下都快速运行。 使用 dp[i][j] 表示您使用第一个 j 元素创建小于或等于 i 的总和的次数。

dp[i][j] = dp[

for (int l = 0; l <= i; l++) 
    dp[i][j] += dp[l][j] + min(i-l+1, input[j])

结果是 dp[k,n]