用于计算排序数组的pariwise绝对和的中值的有效算法

Question

我正在尝试提出一个快速算法来计算数量b[i]= med |y_i+y_j|, 1<=j!=i<=n当y_1,...,y_n已经排序时（所以b[]是一个与y[]相同长度的向量。 我将假设y[]所有元素都是唯一的，而n是偶数。

所以，下面的代码计算b[i]是天真的（ O(n**2) ）方式:(为方便起见，我在R中写了这个，但我是语言不可知的）

n<-30
a_fast<-b_slow<-rep(NA,n)
y<-sort(rnorm(n,100,1))
z<-y
for(i in 1:n){
    b_slow[i]<-median(abs(y[-i]+y[i]))
}   

我有一个暂定的建议 - 下面 - 在O(n)这样做。 但它只有在y[]包含正数时才有效。

我的问题是：当y[]包含正数和负数时，我应该如何更改快速算法呢？ 这甚至可能吗？

编辑：

并且（暂定） O(n)方式下面的代码（为了方便我在R中写了这个，但我是语言不可知的）

tryA<-floor(1+(n-1)/2+1)
tryB<-floor(1+(n-1)/2)
medA<-y[tryA]
medB<-y[tryB]
for(i in 1:(tryA-1)){
        a_fast[i]<-medA+y[i]
}
for(i in tryA:n){
        a_fast[i]<-medB+y[i]
}

简单的例子：

简单，说明性的例子。 如果我们有一个长度为4的向量

-3, -1, 2, 4

然后，例如对于i = 1，3个绝对成对和是

  4 1 1

他们的中位数是1。

然后，例如对于i = 2，3个绝对成对和是

  4 1 3

他们的中位数是3。

这是一个较长的例子，包括正y[]和负y[] ：

 -1.27 -0.69 -0.56 -0.45 -0.23  0.07  0.13  0.46  1.56  1.72

这是我的新b_slow[] （这是地面的投掷，计算了天真的方式）：

1.20 0.92 1.00 1.01 0.79 0.53 0.56 0.53 1.33 1.49

但现在，我的新a_fast[]不再匹配了：

 -1.20 -0.62 -0.49 -0.38 -0.16 -0.16 -0.10  0.23  1.33  1.49

编辑：

这是我对弗朗西斯解决方案的实现（直到我们有两个排序数组，其中位数易于计算）。 我在R中做到这一点以保持这个问题的精神。

尽管如此，我似乎错过了索引的修正因子（下面代码中的ww），因此下面的代码有时会稍微偏离。 这是因为在上面的定义中，我们计算了n-1个观测值的中位数（i！= j）。

 n<-100
 y<-rnorm(n)
 y<-sort(y)

 b<-rep(NA,n)
 #Naive --O(n**2)-- approch:
 for(i in 1:n){
     b[i]<-median(abs(y[-i]+y[i]))
 }

 k<-rep(NA,n)
 i<-1
 k[i]<-min(na.omit(c(which(y+y[i]>0)[1],n))) #binary search: O(log(n)) -- 
 for(i in 2:n){                  #O(n)
     k_prov<-k[i-1]
     while(y[k_prov]+y[i]>0 && k_prov>0)     k_prov<-k_prov-1
     k[i]<-max(k_prov+1,1)
     #for(i in 1:n){ should give the same result.
     #   k[i]<-which(y+y[i]>0)[1]
     #}
 }

 i<-sample(1:n,1)
 x1<--y[1:(k[i]-1)]-y[i]
 x2<-y[i]+y[n:k[i]]
 x3<-c(x1,x2)
 plot(x3)
 ww<-ifelse(i<k[i] & i>n/2,n/2+1,n/2)
 sort(x3)[ww]  #this can be computed efficiently: O(log(n))
 b[i]          #this is the O(n**2) result.

Answer 1

这是一个O（Nxln（N）xln（N））解决方案：

对于所有我：

1）找到项目k，例如j<k <=> y[j]+y[i]<0 （二分法，O（ln（N）））

k分隔两个排序列表：一个在-y [i]之上，另一个在-y [i]之下，其符号应该被改变为abs（y [i] + y [j]）。 现在，我们正在寻找这些列表的中位数。

从这里开始，只是找到两个排序列表的中位数的问题，重复n次。

2）让我们选择这些列表的最大值（M = abs（y [1] -y [i]）或M = abs（y [size] -y [i]））和最小值（m左右）并重新启动二分法（O（ln（N））。让我们从任何阶段的中间（M + m）/ 2 ...开始，让我们挑选中间...

3）这个大二分法的阶段：第一个列表中有多少项y [j] + y [i]高于（M + m）/ 2？ 再一次二分法...... O（ln（N））。 第二个列表中有多少项-y [j] -y [i]高于（M + m）/ 2？ 你猜怎么着 ？ 二分法......总结这两个数字。 如果它大于（size-1）/ 2，则m =（M + m）/ 2。 否则M =（M + m）/ 2。

4）如果m = M停止！ b[i]=m;

我猜有人会有更好的解决方案......

编辑：我应该感谢@ user189035他的O（ln（n + m））算法的链接，以计算两个排序列表的中位数。 如何在两个排序数组的并集中找到第k个最小元素？

再见，