如何从x个连续数字递归计算可能增加的序列数？

Question

令 integer x为数字组合的长度，并让连续整数的范围从 1 到max 。 序列必须是非递减的（序列通常是递增的，但相同的连续数字是可能的）。 给定x和max多少个这样的序列是可能的？

例如，对于x =3， max = 2，有 4 个可能的序列：

1,1,1

1,1,2

1,2,2

2,2,2

我想到了以下递归方法：

public static int howManySorted(int n, int max, int len, int i) {
        if(len > n || i > max) {
            return 0;
        }

        if(len == n && i == max) {
            return 1;
        }

        return howManySorted(n, max, len + 1, i + 1) +
                howManySorted(n, max, len + 1, i) +
                howManySorted(n, max, len, i + 1);
}

1. howManySorted(n, max, len + 1, i + 1)是指序列长度加一，下一个数比前一个大一的情况。

2. howManySorted(n, max, len + 1, i)是指序列长度加一，下一个数与前一个数相同的情况。

我确实意识到我的递归公式存在问题，因为在这样的序列中，相邻数字之间的差异最多为1 。 所以我决定添加另一个调用howManySorted(n, max, len, i + 1)来弥补这种情况，但这仍然不会产生预期的结果。 我究竟做错了什么？

我像这样从main调用这个方法howManySorted(n, max, 1, 1) 。

Answer 1

假设len = 10和max = 5 。

请注意，由于我们对实际解决方案不感兴趣，只对计数感兴趣，因此范围 2-5 的结果与范围 1-4 的结果相同。

对于第一个数字，我们可以选择一个数字 1-5，然后：

1. 使用len = 9递归调用，将数字范围限制为 1-5，即max = 5
2. 使用len = 9递归调用，将数字范围限制为 2-5，即max = 4
3. 使用len = 9递归调用，将数字范围限制为 3-5，即max = 3
4. 使用len = 9递归调用，将数字范围限制为 4-5，即max = 2
5. 使用len = 9递归调用，将数字范围限制为 5-5，即max = 1

总结递归调用返回的计数。 这就是这个调用的结果。

当len = 1 ，有max解，因此返回max作为计数。

当max = 1 ，无论len为何，都只有一个解，因此返回1作为计数。

我会把实际的编码留给你。

Answer 2

public static int howManySorted(int n, int max)
{
    return howManySorted(n, 1, max);
}

private static int howManySorted(int n, int min, int max)
{
    if (n == 1)
       return max - min + 1;
    if (min == max)
       return 1;
    return howManySorted(n, min + 1, max) + howManySorted(n-1, min, max);
}