如何從x個連續數字遞歸計算可能增加的序列數？

Question

令 integer x為數字組合的長度，並讓連續整數的范圍從 1 到max 。 序列必須是非遞減的（序列通常是遞增的，但相同的連續數字是可能的）。 給定x和max多少個這樣的序列是可能的？

例如，對於x =3， max = 2，有 4 個可能的序列：

1,1,1

1,1,2

1,2,2

2,2,2

我想到了以下遞歸方法：

public static int howManySorted(int n, int max, int len, int i) {
        if(len > n || i > max) {
            return 0;
        }

        if(len == n && i == max) {
            return 1;
        }

        return howManySorted(n, max, len + 1, i + 1) +
                howManySorted(n, max, len + 1, i) +
                howManySorted(n, max, len, i + 1);
}

1. howManySorted(n, max, len + 1, i + 1)是指序列長度加一，下一個數比前一個大一的情況。

2. howManySorted(n, max, len + 1, i)是指序列長度加一，下一個數與前一個數相同的情況。

我確實意識到我的遞歸公式存在問題，因為在這樣的序列中，相鄰數字之間的差異最多為1 。 所以我決定添加另一個調用howManySorted(n, max, len, i + 1)來彌補這種情況，但這仍然不會產生預期的結果。 我究竟做錯了什么？

我像這樣從main調用這個方法howManySorted(n, max, 1, 1) 。

Answer 1

假設len = 10和max = 5 。

請注意，由於我們對實際解決方案不感興趣，只對計數感興趣，因此范圍 2-5 的結果與范圍 1-4 的結果相同。

對於第一個數字，我們可以選擇一個數字 1-5，然后：

1. 使用len = 9遞歸調用，將數字范圍限制為 1-5，即max = 5
2. 使用len = 9遞歸調用，將數字范圍限制為 2-5，即max = 4
3. 使用len = 9遞歸調用，將數字范圍限制為 3-5，即max = 3
4. 使用len = 9遞歸調用，將數字范圍限制為 4-5，即max = 2
5. 使用len = 9遞歸調用，將數字范圍限制為 5-5，即max = 1

總結遞歸調用返回的計數。 這就是這個調用的結果。

當len = 1 ，有max解，因此返回max作為計數。

當max = 1 ，無論len為何，都只有一個解，因此返回1作為計數。

我會把實際的編碼留給你。

Answer 2

public static int howManySorted(int n, int max)
{
    return howManySorted(n, 1, max);
}

private static int howManySorted(int n, int min, int max)
{
    if (n == 1)
       return max - min + 1;
    if (min == max)
       return 1;
    return howManySorted(n, min + 1, max) + howManySorted(n-1, min, max);
}