[英]how many times will this loop execute
我只是想知道这样的嵌套循环会运行多少次
int sum = 0;
for(int i = 0; i < total; i++) {
for(int j = i + 1; j < total; j++) {
for(int k = j; k < total; k++) {
sum++;
}
}
}
System.out.println(sum);
我可以很容易地看到总和的输出，但我希望能够用数学计算总的sum与任意数量的total 。
它只需要一点编程知识。实际上，落后的逻辑只是计算方面的事情。 比方说：
total=10,sum=0
-当我为0时：
那个时间j也用1（i + 1）和k初始化。 因此k将导致我们执行9次循环，并且随着j的增加，它将导致我们执行sum语句8次，7次，再执行6次直到1次。 （9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45次。）
-当我1：
那个时间j也用2和k初始化。所以sum语句将执行8次，然后执行7次，然后执行6次直到1。（8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36次）。
-当我2岁时：
相同的事情反复发生，但是以不同的数字开头，所以这次（7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28）
所以最终答案是1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 = 165。
中间循环的第一次迭代添加
total-1 + total-2 + ... + 1
总和。
中间循环的第二次迭代添加
total-2 + total - 3 + ... + 1
总和
中间循环的最后一次迭代添加
1
总和。
如果将所有这些条件加起来，您将得到
(total - 1) * 1 + (total - 2) * 2 + (total - 3) * 3 + ... + 2 * (total - 2) + 1 * (total - 1)
自从我学习数学以来已经有一段时间了，所以我不记得这个表达式是否有一个更简单的公式。
例如，如果总数为10，则得到：
9 * 1 + 8 * 2 + 7 * 3 + 6 * 4 + 5 * 5 + 4 * 6 + 3 * 7 + 2 * 8 + 1 * 9 =
9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 + 21 + 16 + 9 =
165
TL; DR
该循环将执行((total ^ 3) - total) / 6次，因此它将是循环结束时sum的值。
int sum = 0;
for(int i = 0; i < total; i++) {
for(int j = i + 1; j < total; j++) {
for(int k = j; k < total; k++) {
sum++;
}
}
}
可以很容易地看出，外循环运行了total次数。 第二个循环比较棘手
让我们尝试解决这个问题
i = 0 ， j从1..total - 1
i = 1 ， j从2..total - 1
i = 2 ， j从3..total - 1
... i = total - 2 ， j从total - 1 ..total - 1 （仅运行一次）
i = total - 1 ，因为循环终止条件为true，所以不执行内部循环。
第三个循环取决于第二个内部循环k从j..total - 1运行
让我们合计为6
j从1..5运行-> k运行5次（ j = 1 ）+ 4次（ j = 2 ）+ 3次（ j = 3 ）+ 2次（ j = 4 ）+ 1次（ j = 4 ）
（为其他人显示缩小版）
2..5 -> 4+3+2+1
3..5 3+2+1
4..5 2+1
5..5 1
哪一个
1 + 2 + 3 + 4 + 5+
1 + 2 + 3 + 4 +
1 + 2 + 3 +
1 + 2 +
1
通常，
1 + 2 + 3 + .. n +
1 + 2 + 3 +..n - 1+
1 + 2 + 3 +..n - 2+
1 + 2 + 3 +
1 + 2 +
1
归结为n * (n - 1)) / 2
对于所有 n 值 （从1 to total
可以通过以下方式验证
int res = 0;
for (int i = 1; i <= total; i++) {
res += (i * (i - 1))/2;
}
res将等于您的sum 。
数学上，上面是
((total ^ 3) - total) / 6
派生：
参考文献：
最外面的循环运行“总数”次。
对于每个外部循环，中间循环运行“总计-i”次。
即合计*合计+合计*（合计1）+合计*（合计2）....合计* 1
=总数*（总数+总数-1+总数-2 ... 1）
=总计*（1 + 2 + 3 ....总计）
=总数*（第一个“总数”自然数之和）
=总数*（总数*（总数+1）/ 2）
现在，最里面的循环也为每个中间循环运行“ total-j”次
即合计*（合计*（合计+1）/ 2）*（合计+（合计-1）+（合计2）.... + 1）
=总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（1 + 2 + 3 .... +总数）
=总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（第一个“总数”自然数之和）
= total *（total *（total + 1）/ 2）*（total *（total + 1）/ 2）。因此，最终您会得到接近
总数*（总数*（总数+1）/ 2）*（总数*（总数+1）/ 2）。
抱歉，有一个更正，因为@andreas提到最里面和中间的循环仅运行到total-i-1次，在这种情况下，这将是第一个（total-1）个数之和，应为（total-1）* total / 2，因此最终输出应为
合计*（total *（total-1）/ 2）*（total *（total-1）/ 2）。
该方程如下所示，并且k等于total：
众所周知，算术级数的总和为：
最内层的循环将循环
次，这是j的函数。
您对其进行归纳并得到i的函数，又称：
您再次对其求和，得到一个total为total的函数：
对于Mathematica用户，结果是：
f[x_]:=Sum[Sum[x-j,{j,i+1,x-1}],{i,0,x-1}]
从这里 ，我们可以更清楚地看到它，并且最终结果是：
其中x是total 。
如果我们运行此循环100次并生成一个数据集，然后对其进行图形处理，则会得到以下结果：
现在，此图显然是立方的。 因此我们可以使用ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d的三次方程式进行求解。
使用4点，它们的值均为：
所以整个方程是
y=x^3/6-x/6
y=x(x^2/6-1/6)
y=(x/6)(x^2-1)
互动图：
<iframe src="https://www.desmos.com/calculator/61whd83djd?embed" width="500px" height="500px" style="border: 1px solid #ccc" frameborder=0></iframe>
该函数将循环(total/6)*(total*total - 1)次。
var total = 100 var sum = 0; for(var i = 0; i < total; i++) { for(var j = i + 1; j < total; j++) { for(var k = j; k < total; k++) { sum++; } } } function calc(n) { return n*(n-1)*(n+1)/6 } console.log("sum: "+sum) console.log("calc: "+calc(total))
像这样的简单循环：
for (i = a; i < b; i ++) {
....
}
如果a < b ，则运行ba次迭代（ i取值： a ， a+1 ， a+2 ... b-2 ， b-1 ），否则运行0次迭代。 下面我们将始终假设a < b 。
可以使用简单的数学公式计算其迭代次数：
我们从最里面的循环开始：
for(int k = j; k < t; k++) {
sum++;
}
其迭代次数为：
使用上面的公式， U值为(t-1)-j+1表示：
U = t - j
添加中间循环，迭代次数变为：
第二和的项是t-(i+1) ， t-(i+2) ，... t-(t-2) ， t-(t-1) 。
通过解决括号并将它们放在相反的顺序，它们可以写为：
1 ， 2 ，... ti-2 ti-1
令p = t - j 。 现在第二个和为：
它是第一个ti-1自然数的总和，其值为：
加上外循环，总和为：
在最后一个总和上，表达式(t - i)以t开头（当i = 0 ），以t-1开头（当i = 1 ），然后一直减小直到达到1 （当i = t - 1 ）。 通过替换q = t - i ，最后一个和成为：
最后一个表达式从前n平方数 的和中减去前n自然数 的和 。 其值为：
现在很容易简化表达式：
发布的代码的迭代次数为：
有没有办法判断 for 循环在运行之前将执行多少次？
[英]Is there a way to tell how many times a for loop will execute before running it?
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