快速平方根逆算法中第一种类型校正的确切值是多少？

Question

有了这段代码，（这是Quake 3中使用的众所周知的快速平方根逆算法），我无法理解打印输出。 我从表面上了解了整个算法，但希望获得深入的了解。 printf打印时i的值是什么？ 这给了我1120403456。 是否取决于计算机的体系结构？ 我读过某处这样的类型操纵会导致不确定的行为。 在另一个网站上，我读到了那时i的值是此变量使用的位的确切值。 我对此感到困惑，并且诚实地期望i的值为100。如何解释结果1120403456？ 如何将此值转换为十进制100？ 这些位是以某种方式编码的吗？ 这是代码摘录：

#include<stdio.h>

int main()
{
float x = 100;
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
printf("%d", i);
i = 0x5f3759df - (i>>1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f-xhalf*x*x);
return x;

}

Answer 1

在int i = *(int*)&x;之后打印的i的值int i = *(int*)&x; 是浮点数100.0的位表示形式，这是x初始化的对象。 由于您在printf使用%d格式，因此它将表示形式打印为十进制整数。

的位模式100.0在IEEE 32位float是0x42c80000 ，这是1120403456十进制

Answer 2

要将1120403456或任何其他数字解释为IEEE基本的32位二进制浮点数：

• 将数字写为32位，在这种情况下为01000010110010000000000000000000。
• 第一位是符号。 0是+，而1是-。
• 接下来的八位是指数的编码。 它们是10000101，即十进制133。 指数使用偏差127进行编码，这意味着所表示的2的实际幂是2 ^133-127 = 2 ⁶ 。 （如果指数为0或255，则这是一个具有不同含义的特殊值。）
• 其余23位对有效位数进行编码。 对于普通指数（代码1到254），它们对以“ 1”开头并附加23位“ 10010000000000000000000”以形成二进制数“ 1.10010000000000000000000”而形成的有效位数进行编码。 以十进制表示，为1.5625。
• 编码的完整值是带2的幂乘以有效数的符号：+ 2 ⁶ •1.5625，等于64•1.5625，即100。

如果指数代码为0，则表示2 ^-126 ，并且有效^位数将以“ 0.”而不是“ 1”开头。

如果指数代码为255，且有效位为零，则对象将表示无穷大（根据符号位为+∞或-∞）。 如果指数代码为255，并且有效位不为零，则该对象将表示非数字（NaN）。 NaN还有其他语义未包含在此答案中。

Answer 3

它比Quake III早得多 ，尽管确切的魔术常数有所变化。

根据IEEE-754（大多数现代计算机使用的）对有限单精度浮点数进行编码是

     31 30           23 22                                          0
     ├─┼─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┼─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┤
     │S│   Exponent    │                   Mantissa                  │
     └─┴───────────────┴─────────────────────────────────────────────┘

最高位S是符号。 如果设置，则该值为负，否则为正。

如果Exponent和Mantissa均为零，则值为0.0（如果S为零）或-0.0（如果S为1）。

如果Exponent为零，但Mantissa非零，则您有一个非常接近零的非正规数 。

Exponent为255（所有位均已设置）的表示形式保留为无穷大（如果Mantissa为零），而不是数字（如果Mantissa不为零）。

对于从1到254（含）之间的Exponent值， Mantissa包含Mantissa的小数位，在整数位置含一个隐式1（这是(1)在0 10000001 (1)1011011011011011011011 。）换句话说，对于这些Exponent值， Mantissa表示的值是从1.00000000000000000000000 ₂ （十进制1.0）到1.11111111111111111111111 ₂ （十进制1.99999994）（含）。

= Exponent (between 1 and 254, inclusive), and the logical value of Mantissa (between 1.0 and 1.99999994), then the value the single-precision floating point represents is 现在，如果我们仅考虑非负值（ S清除）， = Exponent （1到254之间，包括1和254之间），而为Mantissa的逻辑值（1.0到1.99999994之间），则值为单精度浮点点代表是

= 2 ^{- 127} × = 2 ^-127 ×

127是指数偏差。 is 平方根是

= 2 ^{( - 127)/2} × √ = 2 ^{/2 - 127} × 2 ⁶³ × √2 × √ = ^{- 127）/} = 2 ^{/ 2 - 127×2 63×√2×√}

和平方根反比，这是这里的目标运算，

= 2 ^{(127 - )/2} × 1/√ = 2 ^{- /2 - 127} × 2 ⁶³ × √2 × 1/√ 1 = ^{2（127 - 2×1} = 2 ^{- / 2 - 127×2 63×√2×1} /√

注意^2127/2 = 2 ^63.5 = 2 ⁶³ ×√2。

. 如果我们采用整数表示形式，并将其向右移一位，我们实际上将减半。 要乘以2 ⁶³ ，我们需要将63加到指数上。 63×2 ²³ 。 , we effectively just multiply by /2. 然而代替，对于平方根运算，乘以√2×√ ，我们有效地只是乘以 / 2。 这意味着（将整数表示右移一位，然后将63加到指数上）会得出平方根的估计值，对于大于1.0的自变量，其平方差在0.7071067到0.75之间，而系数在0.7071067到0.05之间。 0和1之间的值是1448.155（对于√0，它的输出为5.421×10 ^-20，对于√1，它的输出为0.75。）

. 注意，对于平方根的倒数运算，我们希望对求反。

). 事实证明，如果向右一位移位整数表示，然后减去从（1 01111100 _{1101110101100111011111）2（1597463007}十进制，十六进制0x5f3759df，的^{√2127≈1304381​​7825332782212}单精度浮点近似值） ，你得到的平方根的倒数（1 的一个很好的近似。 对于所有有限的普通自变量，近似值与正确值之间的距离为0.965624至1.0339603。 一个非常好的近似值！ 对于顶部的平方根逆运算，您需要做的是一两次牛顿方法迭代。 ) = 0 iff = 1/√ you need f( ) = 1/ ^2 - . So, each iteration in is - f( )/f'( ) = × (1.5 - 0.5 × × × . Which should look quite familiar.) （对于 0当且仅当 = 1 您需要 1 / ^ 2 - 因此，在每次迭代是 - ×（1.5-0.5× × × 。应该看起来很熟悉。）