快速平方根逆算法中第一種類型校正的確切值是多少？

Question

有了這段代碼，（這是Quake 3中使用的眾所周知的快速平方根逆算法），我無法理解打印輸出。 我從表面上了解了整個算法，但希望獲得深入的了解。 printf打印時i的值是什么？ 這給了我1120403456。 是否取決於計算機的體系結構？ 我讀過某處這樣的類型操縱會導致不確定的行為。 在另一個網站上，我讀到了那時i的值是此變量使用的位的確切值。 我對此感到困惑，並且誠實地期望i的值為100。如何解釋結果1120403456？ 如何將此值轉換為十進制100？ 這些位是以某種方式編碼的嗎？ 這是代碼摘錄：

#include<stdio.h>

int main()
{
float x = 100;
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
printf("%d", i);
i = 0x5f3759df - (i>>1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f-xhalf*x*x);
return x;

}

Answer 1

在int i = *(int*)&x;之后打印的i的值int i = *(int*)&x; 是浮點數100.0的位表示形式，這是x初始化的對象。 由於您在printf使用%d格式，因此它將表示形式打印為十進制整數。

的位模式100.0在IEEE 32位float是0x42c80000 ，這是1120403456十進制

Answer 2

要將1120403456或任何其他數字解釋為IEEE基本的32位二進制浮點數：

• 將數字寫為32位，在這種情況下為01000010110010000000000000000000。
• 第一位是符號。 0是+，而1是-。
• 接下來的八位是指數的編碼。 它們是10000101，即十進制133。 指數使用偏差127進行編碼，這意味着所表示的2的實際冪是2 ^133-127 = 2 ⁶ 。 （如果指數為0或255，則這是一個具有不同含義的特殊值。）
• 其余23位對有效位數進行編碼。 對於普通指數（代碼1到254），它們對以“ 1”開頭並附加23位“ 10010000000000000000000”以形成二進制數“ 1.10010000000000000000000”而形成的有效位數進行編碼。 以十進制表示，為1.5625。
• 編碼的完整值是帶2的冪乘以有效數的符號：+ 2 ⁶ •1.5625，等於64•1.5625，即100。

如果指數代碼為0，則表示2 ^-126 ，並且有效^位數將以“ 0.”而不是“ 1”開頭。

如果指數代碼為255，且有效位為零，則對象將表示無窮大（根據符號位為+∞或-∞）。 如果指數代碼為255，並且有效位不為零，則該對象將表示非數字（NaN）。 NaN還有其他語義未包含在此答案中。

Answer 3

它比Quake III早得多 ，盡管確切的魔術常數有所變化。

根據IEEE-754（大多數現代計算機使用的）對有限單精度浮點數進行編碼是

     31 30           23 22                                          0
     ├─┼─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┼─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┤
     │S│   Exponent    │                   Mantissa                  │
     └─┴───────────────┴─────────────────────────────────────────────┘

最高位S是符號。 如果設置，則該值為負，否則為正。

如果Exponent和Mantissa均為零，則值為0.0（如果S為零）或-0.0（如果S為1）。

如果Exponent為零，但Mantissa非零，則您有一個非常接近零的非正規數 。

Exponent為255（所有位均已設置）的表示形式保留為無窮大（如果Mantissa為零），而不是數字（如果Mantissa不為零）。

對於從1到254（含）之間的Exponent值， Mantissa包含Mantissa的小數位，在整數位置含一個隱式1（這是(1)在0 10000001 (1)1011011011011011011011 。）換句話說，對於這些Exponent值， Mantissa表示的值是從1.00000000000000000000000 ₂ （十進制1.0）到1.11111111111111111111111 ₂ （十進制1.99999994）（含）。

= Exponent (between 1 and 254, inclusive), and the logical value of Mantissa (between 1.0 and 1.99999994), then the value the single-precision floating point represents is 現在，如果我們僅考慮非負值（ S清除）， = Exponent （1到254之間，包括1和254之間），而為Mantissa的邏輯值（1.0到1.99999994之間），則值為單精度浮點點代表是

= 2 ^{- 127} × = 2 ^-127 ×

127是指數偏差。 is 平方根是

= 2 ^{( - 127)/2} × √ = 2 ^{/2 - 127} × 2 ⁶³ × √2 × √ = ^{- 127）/} = 2 ^{/ 2 - 127×2 63×√2×√}

和平方根反比，這是這里的目標運算，

= 2 ^{(127 - )/2} × 1/√ = 2 ^{- /2 - 127} × 2 ⁶³ × √2 × 1/√ 1 = ^{2（127 - 2×1} = 2 ^{- / 2 - 127×2 63×√2×1} /√

注意^2127/2 = 2 ^63.5 = 2 ⁶³ ×√2。

. 如果我們采用整數表示形式，並將其向右移一位，我們實際上將減半。 要乘以2 ⁶³ ，我們需要將63加到指數上。 63×2 ²³ 。 , we effectively just multiply by /2. 然而代替，對於平方根運算，乘以√2×√ ，我們有效地只是乘以 / 2。 這意味着（將整數表示右移一位，然后將63加到指數上）會得出平方根的估計值，對於大於1.0的自變量，其平方差在0.7071067到0.75之間，而系數在0.7071067到0.05之間。 0和1之間的值是1448.155（對於√0，它的輸出為5.421×10 ^-20，對於√1，它的輸出為0.75。）

. 注意，對於平方根的倒數運算，我們希望對求反。

). 事實證明，如果向右一位移位整數表示，然后減去從（1 01111100 _{1101110101100111011111）2（1597463007}十進制，十六進制0x5f3759df，的^{√2127≈1304381​​7825332782212}單精度浮點近似值） ，你得到的平方根的倒數（1 的一個很好的近似。 對於所有有限的普通自變量，近似值與正確值之間的距離為0.965624至1.0339603。 一個非常好的近似值！ 對於頂部的平方根逆運算，您需要做的是一兩次牛頓方法迭代。 ) = 0 iff = 1/√ you need f( ) = 1/ ^2 - . So, each iteration in is - f( )/f'( ) = × (1.5 - 0.5 × × × . Which should look quite familiar.) （對於 0當且僅當 = 1 您需要 1 / ^ 2 - 因此，在每次迭代是 - ×（1.5-0.5× × × 。應該看起來很熟悉。）