为什么（A + B）的FFT与FFT（A）+ FFT（B）不同？

Question

我差不多一个月一直在和一个非常奇怪的虫子打架。 问你们这是我最后的希望。 我在C中编写了一个程序，它使用傅里叶（或倒数）空间中的隐式欧拉（IE）方案集成了2d Cahn-Hilliard方程 ：

“帽子”意味着我们处于傅里叶空间：h_q（t_n + 1）和h_q（t_n）是时间t_n和t_（n + 1）的h（x，y）的FT，N [h_q]是非线性算子应用于傅立叶空间中的h_q，而L_q是线性的，同样在傅立叶空间中。 我不想过多介绍我使用的数值方法的细节，因为我确信问题不是来自那里（我尝试使用其他方案）。

我的代码实际上非常简单。 这是开始，基本上我声明变量，分配内存并为FFTW例程创建计划。

# include <stdlib.h>
# include <stdio.h>
# include <time.h>
# include <math.h>
# include <fftw3.h>
# define pi M_PI

int main(){

// define lattice size and spacing
int Nx = 150;         // n of points on x
int Ny = 150;         // n of points on y
double dx = 0.5;      // bin size on x and y

// define simulation time and time step
long int Nt = 1000;   // n of time steps
double dt = 0.5;      // time step size

// number of frames to plot (at denominator)
long int nframes = Nt/100;

// define the noise
double rn, drift = 0.05;   // punctual drift of h(x)
srand(666);                // seed the RNG

// other variables
int i, j, nt;    // variables for space and time loops

// declare FFTW3 routine
fftw_plan FT_h_hft;   // routine to perform  fourier transform
fftw_plan FT_Nonl_Nonlft;
fftw_plan IFT_hft_h;  // routine to perform  inverse fourier transform

// declare and allocate memory for real variables
double *Linft = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *Q2 = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *qx = fftw_alloc_real(Nx);
double *qy = fftw_alloc_real(Ny);

// declare and allocate memory for complex  variables
fftw_complex *dh = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *dhft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonl = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonlft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);

// create the FFTW plans
FT_h_hft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dh, dhft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
FT_Nonl_Nonlft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, Nonl, Nonlft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
IFT_hft_h = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dhft, dh, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE );

// open file to store the data
char acstr[160];
FILE *fp;
sprintf(acstr, "CH2d_IE_dt%.2f_dx%.3f_Nt%ld_Nx%d_Ny%d_#f%.ld.dat",dt,dx,Nt,Nx,Ny,Nt/nframes);

在这个序言之后，我用一个均匀的随机噪声初始化我的函数h（x，y），并且我也采用它的FT。 我将h（x，y）的虚部（即代码中的dh[i*Ny+j][1] ）设置为0，因为它是一个实数函数。 然后我计算波矢量qx和qy ，并用它们，我计算傅立叶空间中方程的线性算子，这是代码中的Linft 。 我只考虑h的四阶导数作为线性项，因此线性项的FT只是-q ^ 4 ......但是，我不想再深入讨论我的积分方法的细节。 问题不在于此。

// generate h(x,y) at initial time
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    rn = (double) rand()/RAND_MAX;    // extract a random number between 0 and 1
    dh[i*Ny+j][0] = drift-2.0*drift*rn;    // shift of +-drift
    dh[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// execute plan for the first time
fftw_execute (FT_h_hft);

// calculate wavenumbers
for (i = 0; i < Nx; i++) { qx[i] = 2.0*i*pi/(Nx*dx); }
for (i = 0; i < Ny; i++) { qy[i] = 2.0*i*pi/(Ny*dx); }
for (i = 1; i < Nx/2; i++) { qx[Nx-i] = -qx[i]; }
for (i = 1; i < Ny/2; i++) { qy[Ny-i] = -qy[i]; }

// calculate the FT of the linear operator
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Q2[i*Ny+j] = qx[i]*qx[i] + qy[j]*qy[j];
    Linft[i*Ny+j] = -Q2[i*Ny+j]*Q2[i*Ny+j];
  }
}

然后，最后，它来了时间循环。 基本上，我所做的是以下内容：

• 每隔一段时间，我就会将数据保存到文件中并在终端上打印一些信息。 特别是，我打印非线性项的FT的最高值。 我还检查h（x，y）是否发散到无穷大（它不应该发生！），

• 计算直接空间中的h ^ 3（即简单地dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] ）。 同样，虚部设置为0，

• 拿h ^ 3的FT，

• 通过计算-q ^ 2 *（FT [h ^ 3] -FT [h]）获得倒数空间中的完整非线性项（即上面描述的IE算法中的N [h_q]）。 在代码中，我指的是Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0])对于虚部， Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0])和下面的那个。 我这样做是因为：

• 使用IE方法提前，在直接空间中转换回来，然后进行标准化。

这是代码：

for(nt = 0; nt < Nt; nt++) {

if((nt % nframes)== 0) {
  printf("%.0f %%\n",((double)nt/(double)Nt)*100);
  printf("Nonlft   %.15f \n",Nonlft[(Nx/2)*(Ny/2)][0]);

  // write data to file
  fp = fopen(acstr,"a");
  for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
    for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      fprintf(fp, "%4d  %4d  %.6f\n", i, j, dh[i*Ny+j][0]);
      }
  }
  fclose(fp);

}

// check if h is going to infinity
if (isnan(dh[1][0])!=0) {
  printf("crashed!\n");
  return 0;
}

// calculate nonlinear term h^3 in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0];
      Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);

// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]);
    Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][1] -dhft[i*Ny+j][1]);
  }
}

// Implicit Euler scheme in Fourier space
 for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
    for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      dhft[i*Ny+j][0] = (dhft[i*Ny+j][0] + dt*Nonlft[i*Ny+j][0])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
      dhft[i*Ny+j][1] = (dhft[i*Ny+j][1] + dt*Nonlft[i*Ny+j][1])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
    }
}

// transform h back in direct space
fftw_execute (IFT_hft_h);

// normalize
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      dh[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0] / (double) (Nx*Ny);
      dh[i*Ny+j][1] = dh[i*Ny+j][1] / (double) (Nx*Ny);
  }
}

}

代码的最后一部分：清空内存并破坏FFTW计划。

// terminate the FFTW3 plan and free memory
fftw_destroy_plan (FT_h_hft);
fftw_destroy_plan (FT_Nonl_Nonlft);
fftw_destroy_plan (IFT_hft_h);

fftw_cleanup();

fftw_free(dh);
fftw_free(Nonl);
fftw_free(qx);
fftw_free(qy);
fftw_free(Q2);
fftw_free(Linft);
fftw_free(dhft);
fftw_free(Nonlft);

return 0;

}

如果我运行此代码，我将获得以下输出：

0 %
Nonlft   0.0000000000000000000
1 %
Nonlft   -0.0000000000001353512
2 %
Nonlft   -0.0000000000000115539
3 %
Nonlft   0.0000000001376379599

...

69 %
Nonlft   -12.1987455309071730625
70 %
Nonlft   -70.1631962517720353389
71 %
Nonlft   -252.4941743351609204637
72 %
Nonlft   347.5067875825179726235
73 %
Nonlft   109.3351142318568633982
74 %
Nonlft   39933.1054502610786585137
crashed!

代码在到达结束之前崩溃，我们可以看到非线性项是分歧的。

现在，对我来说没有意义的是，如果我通过以下方式更改我计算非线性项FT的行：

// calculate nonlinear term h^3 -h in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
      Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] -dh[i*Ny+j][0];
      Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
  }
}

// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);

// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
  for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
    Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][0]; 
    Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][1];
  }
}

这意味着我正在使用这个定义：

而不是这一个：

然后代码非常稳定，不会发生分歧！ 即使是数十亿的时间步！ 为什么会发生这种情况，因为计算Nonlft的两种方法应该是等价的？

非常感谢任何花时间阅读所有这些并给我一些帮助的人！

编辑：为了让事情变得更加奇怪，我应该指出，这个错误不会发生在1D的同一系统中。 在1D中，两种计算Nonlft方法都是稳定的。

编辑：我添加一个简短的动画，说明在崩溃之前函数h（x，y）发生了什么。 另外：我很快在MATLAB中重新编写了代码，它使用基于FFTW库的快速傅立叶变换函数，并且没有发生错误......神秘感加深了。

Answer 1

我解决了!! 问题是Nonl术语的计算：

  Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0];
  Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;

这需要改为：

  Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] -3.0*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1];
  Nonl[i*Ny+j][1] = -dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1]*dh[i*Ny+j][1] +3.0*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][1];

换句话说：我需要将dh视为一个复杂的函数（即使它应该是真实的）。

基本上，由于愚蠢的舍入误差， 实数函数 （在我的情况下为dh ） 的FT的IFT 不是纯粹的真实 ，而是具有非常小的虚部。 通过设置Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0我完全忽略了这个想象的部分。 那么，问题在于我递归地求和FT（ dh ）， dhft和使用IFT（FT（ dh ））获得的对象，这是Nonlft ，但忽略了剩余的虚部！

Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]);
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][1] -dhft[i*Ny+j][1]);

显然，计算Nonlft为dh ^ 3 -dh然后再做

Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][0]; 
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][1];

避免做这个“混合”总和的问题。

P ......这样的解脱！ 我希望我可以给自己分配赏金！ ：P

编辑：我想补充一点，在使用fftw_plan_dft_2d函数之前，我使用的是fftw_plan_dft_r2c_2d和fftw_plan_dft_c2r_2d （真实到复杂和复杂到实际），我看到了同样的错误。 但是，如果我没有切换到fftw_plan_dft_2d ，我想我无法解决它，因为c2r函数会自动“切断”来自IFT的剩余虚部。 如果是这种情况并且我没有遗漏某些东西，我认为这应该写在FFTW网站的某个地方，以防止用户遇到这样的问题。 像“ r2c和c2r变换”这样的东西并不适合实现伪谱方法。

编辑：我发现另一个SO问题解决了完全相同的问题。