通过CRC进行单比特错误检测（循环冗余校验）

Question

我正在经历一些与基于CRC生成器的单比特错误检测相关的问题，并试图分析哪个发生器检测到单比特错误，哪个不检测。

假设，如果我有一个CRC生成多项式为x ⁴ + x ² 。 现在我想知道它是否能保证检测到单比特错误？

根据参考文献1和2 ，我总结了一些观点： -

1）如果对于误差多项式x ^k ，k = 1,2,3，则在通过生成多项式x ⁴ + x ²进行多项式除法的情况下，余数将分别为x，x ² ，x ³ ，并且根据参考，如果是生成器如果有一个以上的项，x ^0的系数为1则可以捕获所有单个位错误。 但是没有说如果x ^0的系数不是1则不能检测到单比特错误。 它说“在循环代码中，那些可被g（x）整除的e（x）错误不会被捕获。”

2）我必须检查E（x）/ g（x）的余数，其中E（x）（假设，它是x ^k ）其中，k = 1,2,3，...是误差多项式和g（ x）是生成多项式。 如果余数为零，那么我无法检测到错误，当它为非零时，我就可以检测到它。

所以，据我所知，生成多项式x ⁴ + x ²保证了基于上述两点的单比特错误的检测。请确认我是否正确。

Answer 1

如果x ^0的系数不是1，则无法检测到单比特错误？

如果x ⁰的系数不是1，则将CRC多项式向左移位1（或更多）位（乘以x的某个幂）相同。 将CRC多项式移位1位或更多位不会影响它检测错误的能力，它只是在码字末尾附加1位或更多位零位。

生成多项式x ⁴ + x ²保证检测单比特错误

正确。 x ⁴ + x ²是x ² + 1左移两位，x ⁴ + x ² =（x ² ）（x ² + 1）=（x ² ）（x + 1）（x + 1），并且因为x ² + 1可以检测到任何单个位错误，那么x ⁴ + x ²也可以。 同样使用（x + 1）项（其中两个），它会添加偶数奇偶校验，并可以检测任何奇数位错误。

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通常，无论消息长度如何，所有CRC多项式都可以检测单个位错误。 所有CRC多项式都有一个“循环”周期：如果你使用CRC多项式作为线性反馈移位寄存器的基础，并且初始值是000 ... 0001，那么在经过一定数量的循环后，它将循环回到000 ... 0001。 CRC的最简单的失败是具有2比特的错误，其中2比特被分开等于循环周期的距离。 假设8位CRC（9位多项式）的周期为255，那么2位错误，一位[0]位和一位[255]将导致CRC = 0，并且无法检测到，单个位错误不会发生，它只会继续经历周期，其中没有一个包含值0.如果周期是n个周期，那么如果消息中的位数没有2位错误可能会失败+ CRC <= n。 作为任何多项式时间（x + 1）的乘积的所有CRC多项式可以检测任何奇数个比特错误（因为x + 1实质上是添加偶校验检查）。

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将z多项式左移z位意味着每个码字将具有z尾随零位。 有些情况下这样做。 假设你有一个快速的32位CRC算法。 为了将该算法用于16位CRC，将17位CRC多项式向左移位16位，使得最低有效非零项为x ¹⁶ 。 在使用32位CRC算法进行计算之后，32位CRC右移16位以产生16位CRC。