如何将梯形积分方法调整为自定义零点？

Question

我想计算一个序列向量的积分。 由于没有可用的函数，我使用梯形方法¹ 。

iglTzm <- function(x, y) sum(diff(x) * (head(y, -1) + tail(y, -1))) / 2

序列的第一个元素应该是零点，所以原则是：如果序列的值主要低于第一个值，则积分应为负，否则为正，或为 0。

考虑矩阵m1 ：

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,]    6    7    8    8    6    8   10
[2,]    9    9    8    9    9    8    9
[3,]    9   10   10    9    9    9    9
[4,]    9    8    8    8    6    8    9
[5,]   10   10   10    9   10    8    0
[6,]    9    8    9   10    9    9    9

与这些原始值的集成很可能会导致不一致的值：

> setNames(apply(m1, 1, iglTzm, 0:6), 1:6)
  1   2   3   4   5   6 
 15   2  -2   7 -52   0 

所以我在它们的第一个值（第 1 列）上调整序列（行），以设置正确的符号，并得到矩阵m2 ：

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,]    0    1    2    2    0    2    4
[2,]    0    0   -1    0    0   -1    0
[3,]    0    1    1    0    0    0    0
[4,]    0   -1   -1   -1   -3   -1    0
[5,]    0    0    0   -1    0   -2  -10
[6,]    0   -1    0    1    0    0    0

从逻辑上讲，这不会改变iglTzm()抛出的任何值，因为diff()是相同的：

> setNames(apply(m2, 1, iglTzm, 0:6), 1:6)
  1   2   3   4   5   6 
 15   2  -2   7 -52   0 

无论如何，因为我不能简单地缩放或反转它，所以我还没有一个绝妙的主意如何调整函数以获得正确的符号，假设是：

#  1   2   3   4   5   6 
# 15  -2   2  -7 -52   0

有谁知道如何调整iglTzm()以获得具有正确符号的积分？

m2的图应该更多地说明原理：

---

数据

m1 <- matrix(c(6, 7, 8, 8, 6, 8, 10,
                9, 9, 8, 9, 9, 8, 9,
                9, 10, 10, 9, 9, 9, 9,
                9, 8, 8, 8, 6, 8, 9, 
                10, 10, 10, 9, 10, 8, 0, 
                9, 8, 9, 10, 9, 9, 9), 6, byrow=TRUE)

m2 <- t(apply(m1, 1, function(x) scale(x, center=x[1], scale=FALSE)))

# plot
par(mfrow=c(2, 3))
lapply(1:nrow(m2), function(x) {
  plot(m2[x, ], type="l", main=x)
  abline(h=m2[x, 1], col="red", lty=2)
})

Answer 1

首先，还有另一个小但更重要的问题，尽管在修复它之后您的问题仍然有效。 我的意思是，由于您在apply使用函数的方式，作为函数参数的x和y的顺序应该颠倒。

但这还不够，现在我们回到你的问题。 为此，让我们回忆一下通常的积分： ʃf(x)dx（限制从 a 到 b）将积分 f 下方的区域，这就是您的函数已经成功执行的操作。 现在你想要的是调整它的水平。 但是如果我们从 a 积分到 b，那就和 ʃ(f(x)-f(a))dx = ʃf(x)dx - (ba)f(a) 一样，这导致

iglTzm <- function(y, x) sum(diff(x) * (head(y, -1) + tail(y, -1))) / 2 - y[1] * (max(x) - min(x))
setNames(apply(m1, 1, iglTzm, 0:6), 1:6)
#  1  2  3  4  5  6 
#  9 -2  2 -7 -8  0 

恰好只有两个绝对值与x和y颠倒的版本不同。 打赌让我们看看第一个函数：它应该是 9 还是 15？ 我们有 2*2/2 + 1*2 + 1*2/2 + 2*4/2 = 9，所以我们确实想要反转x和y 。

编写函数的另一种方法是

iglTzm <- function(y, x) sum(diff(x) * (head(y - y[1], -1) + tail(y - y[1], -1))) / 2
setNames(apply(m1, 1, iglTzm, 0:6), 1:6)
#  1  2  3  4  5  6 
#  9 -2  2 -7 -8  0 

编辑：通过反转我只是指函数定义中的顺序或您如何在apply使用它； 就 y（函数值）和 x（网格值）而言，函数本身很好。