Coq将功能扩展为目标的一部分是什么意思？

Question

我试图解决以下定理，并陷入最后的simpl. ：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1 as [| n' l' IHl'].
  -simpl. reflexivity.
  -simpl. 
Qed.

那时，Coq将目标从：

1 subgoal (ID 170)

  n' : nat
  l', l2 : natlist
  IHl' : nonzeros (l' ++ l2) = nonzeros l' ++ nonzeros l2
  ============================
  nonzeros ((n' :: l') ++ l2) = nonzeros (n' :: l') ++ nonzeros l2

至：

1 subgoal (ID 185)

  n' : nat
  l', l2 : natlist
  IHl' : nonzeros (l' ++ l2) = nonzeros l' ++ nonzeros l2
  ============================
  match n' with
  | 0 => nonzeros (l' ++ l2)
  | S _ => n' :: nonzeros (l' ++ l2)
  end =
  match n' with
  | 0 => nonzeros l'
  | S _ => n' :: nonzeros l'
  end ++ nonzeros l2

在我看来，这完全是个谜。 Coq只是复制将函数的定义粘贴到我的目标中是什么意思？ 我什至要怎么办？

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问题背景：

有人告诉我解决方案是：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1.
  - simpl. reflexivity.
  - simpl. { induction n.
             - ...
             - ... }
Qed.

这让我想了解为什么他们在n上使用归纳法，因为我觉得在那里永远不会发生归纳法。 所以我问，为什么？ 但是我意识到，在问起我为什么之前甚至不了解证明状态之前，我就意识到了，因为这似乎只是将粘贴复制到了证明状态（这对我来说没有意义）。 因此，在我问为什么使用归纳法之前，我必须问一下在此之前证明状态是什么，也许这将阐明为什么对n归纳法。

Answer 1

我假设您已通过以下方式（或类似方式）定义了nonzeros ：

Require Import List.
Import ListNotations.


Definition natlist := list nat.

Fixpoint nonzeros (l : natlist) :=
  match l with
  | [] => []
  | 0 :: xs => nonzeros xs
  | x :: xs => x :: nonzeros xs
  end.

因此， nonzeros是递归的，结构递减为l 。 Coq的simpl策略采用了一种启发式方法，在该方法中，如果将固定点的定义应用于以构造函数作为开头符号的术语，则会展开固定点的定义。 在您的情况下，例如nonzeros (n' :: l') ，常量nonzeros后跟由构造函数Cons （= :: nonzeros构成的项。 Coq执行所谓的“减少增量”，用其定义替换nonzero的出现。 由于该定义是match ，因此您将获得一个match作为新术语。 进一步的替换确实使它简化了一点，但是不能消除两种情况：一种表示零水头，一种表示非零水头。

出现的nonzeros ((n' :: l') ++ l2)发生同样的情况，首先将其简化为nonzeros (n' :: (l' ++ l2)) ，因此参数的开头为Cons

如果要避免在简化时公开match表达式，可以将以下伪指令放在nonzeros的定义nonzeros ：

Arguments nonzeros l : simpl nomatch.

这特别是告诉simpl ，如果会最终在更改位置公开match项，则避免扩展术语。

至于您的朋友在这里使用的induction ：它用于强制将案例拆分为n' ，以便可以分别处理每个案例（ n' = 0 ， n' = S _ ）。 实际上，这里不需要归纳法。 一个简单的案例拆分（ case n' ）将执行相同的操作。