Coq將功能擴展為目標的一部分是什么意思？

Question

我試圖解決以下定理，並陷入最后的simpl. ：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1 as [| n' l' IHl'].
  -simpl. reflexivity.
  -simpl. 
Qed.

那時，Coq將目標從：

1 subgoal (ID 170)

  n' : nat
  l', l2 : natlist
  IHl' : nonzeros (l' ++ l2) = nonzeros l' ++ nonzeros l2
  ============================
  nonzeros ((n' :: l') ++ l2) = nonzeros (n' :: l') ++ nonzeros l2

至：

1 subgoal (ID 185)

  n' : nat
  l', l2 : natlist
  IHl' : nonzeros (l' ++ l2) = nonzeros l' ++ nonzeros l2
  ============================
  match n' with
  | 0 => nonzeros (l' ++ l2)
  | S _ => n' :: nonzeros (l' ++ l2)
  end =
  match n' with
  | 0 => nonzeros l'
  | S _ => n' :: nonzeros l'
  end ++ nonzeros l2

在我看來，這完全是個謎。 Coq只是復制將函數的定義粘貼到我的目標中是什么意思？ 我什至要怎么辦？

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問題背景：

有人告訴我解決方案是：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1.
  - simpl. reflexivity.
  - simpl. { induction n.
             - ...
             - ... }
Qed.

這讓我想了解為什么他們在n上使用歸納法，因為我覺得在那里永遠不會發生歸納法。 所以我問，為什么？ 但是我意識到，在問起我為什么之前甚至不了解證明狀態之前，我就意識到了，因為這似乎只是將粘貼復制到了證明狀態（這對我來說沒有意義）。 因此，在我問為什么使用歸納法之前，我必須問一下在此之前證明狀態是什么，也許這將闡明為什么對n歸納法。

Answer 1

我假設您已通過以下方式（或類似方式）定義了nonzeros ：

Require Import List.
Import ListNotations.


Definition natlist := list nat.

Fixpoint nonzeros (l : natlist) :=
  match l with
  | [] => []
  | 0 :: xs => nonzeros xs
  | x :: xs => x :: nonzeros xs
  end.

因此， nonzeros是遞歸的，結構遞減為l 。 Coq的simpl策略采用了一種啟發式方法，在該方法中，如果將固定點的定義應用於以構造函數作為開頭符號的術語，則會展開固定點的定義。 在您的情況下，例如nonzeros (n' :: l') ，常量nonzeros后跟由構造函數Cons （= :: nonzeros構成的項。 Coq執行所謂的“減少增量”，用其定義替換nonzero的出現。 由於該定義是match ，因此您將獲得一個match作為新術語。 進一步的替換確實使它簡化了一點，但是不能消除兩種情況：一種表示零水頭，一種表示非零水頭。

出現的nonzeros ((n' :: l') ++ l2)發生同樣的情況，首先將其簡化為nonzeros (n' :: (l' ++ l2)) ，因此參數的開頭為Cons

如果要避免在簡化時公開match表達式，可以將以下偽指令放在nonzeros的定義nonzeros ：

Arguments nonzeros l : simpl nomatch.

這特別是告訴simpl ，如果會最終在更改位置公開match項，則避免擴展術語。

至於您的朋友在這里使用的induction ：它用於強制將案例拆分為n' ，以便可以分別處理每個案例（ n' = 0 ， n' = S _ ）。 實際上，這里不需要歸納法。 一個簡單的案例拆分（ case n' ）將執行相同的操作。