Haskell-具有函数构造函数的数据类型上的自定义仿函数实例

Question

我无法为自定义数据类型编写自己的functor实例（无法更改）。 数据类型定义为：

data Foo a = Baz String (Qux -> Foo a) | Bar a
data Qux = None | Quux String

我的问题是为Foo类型写一个仿函数。 具体来说，我不确定如何将我的函子函数f正确地应用于Foo的函数。 我正在考虑以某种方式在构造函数中调用该函数，但是由于我没有任何可用的Qux ，因此我陷入了困境。

instance Functor Foo where
    fmap f (Bar a) = Bar (f a)
    fmap f (Baz s ???) = Baz s (???) -- What goes here?

    -- Clearly, something like this doesn't work
    -- fmap f (Baz s g) = Baz s (f g) 

    -- I've also tried something like this, but I'm not sure where to go from there
    -- fmap f (Baz s (None   -> Bar b)) = Baz s (f b) ???
    -- fmap f (Baz s (Quux x -> Bar b)) = Baz s ???

Answer 1

让我们从完成此等式的左侧开始。 我们可以编写g将您的函数绑定到变量。

fmap f (Baz sg) = Baz s (???)

然后，我们需要用另一个函数填充问号，该函数采用Qux并返回Foo b 。

fmap f (Baz sg) = Baz s (\\q -> ???)

我们只能用q做一件事情，那就是将g应用于它。

fmap f (Baz sg) = Baz s (\\q -> gq)

但是，这给了我们Foo a ，但是我们需要Foo b ！ 我们没有执行此操作的功能。 但是，我们确实有f ，它取a并返回b 。 如果只有一种方法可以将fmap a -> b转换为Foo a -> Foo b fmap Foo a -> Foo b ...哦，等等，这就是fmap ！

fmap f (Baz sg) = Baz s (\\q -> fmap f (gq))

如果要以无点符号（ https://wiki.haskell.org/Pointfree ）编写函数，则可以执行此操作。

fmap f (Baz sg) = Baz s (fmap f . g)

Answer 2

遵循以下类型：

fmap f (Baz s g) = GOAL
   -- f    :: a -> b
   -- s    :: String
   -- g    :: Qux -> Foo a
   -- GOAL :: Foo b

因此，我们正在寻找Foo b （目标行）。 我们可以用Bar或Baz制作一个。 fmap应该保留结构，因此应该是Baz 。 Baz的String参数可能不应更改，这只是引起问题的第二个参数。

fmap f (Baz s g) = Baz s GOAL
   -- f    :: a -> b
   -- s    :: String
   -- g    :: Qux -> Foo a
   -- GOAL :: Qux -> Foo b

现在我们必须做一个Qux -> Foo b 。 如果需要执行功能，lambda是必不可少的工具（有其他工具，但是lambda是祖父）。 所以做一个lambda：

fmap f (Baz s g) = Baz s (\x -> GOAL)
   -- f    :: a -> b
   -- s    :: String
   -- g    :: Qux -> Foo a
   -- x    :: Qux          <-- NEW
   -- GOAL :: Foo b

注意，我们现在有一个x :: Qux可以使用。 使用g和x可以创建Foo a ，然后递归使用fmap f ¹可以生成所需的Foo b 。

请注意，我是如何一次仅一步一步地填写表达式，用目标替换未知参数，然后退后一步来考虑范围内的变量以及它们的类型。 继续执行此操作，直到明确目标的路径。

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¹递归类型通常将具有相应的递归fmap定义。 递归在fmap发生的fmap与类型递归的方式完全对应。