部分应用的函数类型 (a ->) 作为 Haskell 中的 Functor 实例

Question

我正在阅读“Haskell 编程”一书（第二版），偶然发现了练习 2，第 12 章，第 2 部分：

instance Functor ((->) a) where
  fmap = TODO

答案是：

instance Functor ((->) a) where
  fmap = (.)

这让我挠了好一阵子。 我想这在直观层面上对我来说确实有意义（部分应用的函数类型a ->是一个函子，当组合是它的fmap ），但我认为一些很好的例子会巩固我对这个练习的理解。

我想出了这两个：

main = do
    putStrLn . show $ (fmap (+1) (*2)) (5 :: Int)
    putStrLn . show $ (fmap (show) (+1)) 3

我的例子是否正确地说明了练习？

fmap给出了两个参数：

• 部分应用函数（函数）
• 另一个部分应用的函数（函子）

---

更新

fmap给出了两个参数：

• 功能（功能）
• 另一个函数（函子）

---

对我来说只是看起来很奇怪，我不确定我的概念是否正确。

我在 SO 上看到了一些类似的问题（例如this one ），其中这个问题几乎是我正在寻找的，但并不完全（我只是在寻找函子的例子，没有别的 - 没有应用程序和单子）。

Answer 1

没有什么比这更重要的了，对于函子f ， fmap的实现（已知对于任何可能的f最多只有一个实现）必须具有类型(a -> b) -> fa -> fb ，并满足两个函子定律：

fmap id = id
fmap (g . h) = fmap g . fmap h

当f是类型构造函数(->) r - 即当fa表示r -> a - 那么所需的类型签名是：

(a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)

（最后一对括号是不必要的，但我把它们留在了，因为它使“模式”更容易看到），很容易看到，这正是(.)运算符的签名。

至于这两条定律，很明显，当你写下它们所说的话时，它们必须成立。 我将通过详细地写出所有内容来证明它们：

fmap id = (.) id
        = \g -> id . g
        = \g -> (\a -> id (g a))
        = \g -> (\a -> g a)
        = \g -> g
        = id

和

fmap (g . h) = (.) (g . h)
             = \g1 -> (g . h) . g1
             = \g1 -> \a -> ((g . h) . g1) a
             = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

(fmap g) . (fmap h) = ((.) g) . ((.) h)
                    = \g1 -> ((.) g) (h . g1)
                    = \g1 -> g . h . g1
                    = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

所以那些也是一样的。

（不要太担心最后的推导——通常这样的事情似乎很难遵循如何从一行到下一行的逻辑，即使在这里它们基本上都使用组合的定义。这真的只是表达了显而易见的众所周知的事实，即函数组合是结合的。无论如何，这是一个普遍的结果，除了我相信对于某些病理类型，如果满足第一个函子定律，那么第二个将始终自动满足。 )

重要的是：当f被定义为fa = r -> a ，则该组合物操作者具有相同的类型fmap ，并同时满足算符法律-因此组合物是的法律定义（和只有这样的定义） fmap到为f创建一个Functor实例。 没有什么比这更重要的了，至少在形式上是这样。