为什么O（2 ^ n）与O（2 ^（n / 2））不同？

Question

考虑从一本书，试图解释以下问题的“中间满足”技术- https://cses.fi/book/book.pdf （54页，PDF P64）

例如，考虑一个问题，给我们一个n个数字和一个x的列表，我们想找出是否有可能从列表中选择一些数字，使它们的和为x。 例如，给定列表[2,4,5,9]且x = 15，我们可以选择数字[2,4,9]得到2 + 4 + 9 =15。但是，如果x = 10同一列表，无法形成总和。

...

解决该问题的一种简单算法是遍历元素的所有子集，并检查任何子集的总和是否为x。 这种算法的运行时间为O（2 ⁿ ），因为有2 ⁿ个子集。 但是，使用中间技术，我们可以实现更有效的O（2 ^{n / 2} ）时间算法。 注意，O（2 ⁿ ）和O（2 ^{n / 2} ）是不同的复杂度，因为2 ^{n / 2}等于√2^ n。

1. 他们通过拆分子集来扎根Big Oh时间。 但是到底为什么这与原始的2 ^n有什么不同呢？

2. 说这两次是不同的。 差异真的那么大吗？

3. 他们为什么不递归地归结到只有一个元素集和2 ^ 1个子集的基本情况（例如在合并排序中），而不是将它们减半？ 如果将它们加在一起，是否可以提高效率？

PS：我知道这本书是C ++的不好参考，但是我将它更多地用于算法说明。

Answer 1

假设它们是相同的。 . 那么您可以说 。 and an such that for all , 这意味着存在一些和一个 ，对于所有 ，

. 。

, 通过将两边均分，就等于说，对于所有 ，

. 。

, so it is not bounded by any . 这显然是不可能的，因为左侧以足够大的到达无穷大，因此它不受任何 。